I 1900-tallet er der blevet udviklet mere matematik end i alle tidligere århundreder tilsammen. Mange konkrete problemer er blevet løst, (bl.a. de fleste af Hilberts problemer, se David Hilbert), og matematikken har fået en hidtil uset abstrakt karakter, bl.a. byggende på mængdelæren.
Milepæle i matematikkens udvikling i 1900-tallet
1902 |
H. Lebesgue introducerer sit integralbegreb |
1908 |
H. Minkowski introducerer det firedimensionale rum-tids-begreb i forbindelse med Einsteins relativitetsteori |
1911 |
L.E.J. Brouwer beviser dimensionsbegrebets topologiske invarians: Talrummene Rn og Rm er kun homeomorfe når n = m
|
1914 |
F. Hausdorff publicerer Grundzüge der Mengenlehre
|
1921 |
N. Wiener giver en matematisk beskrivelse af Brownske bevægelser |
1923 |
H. Bohr udvikler teorien for næsten-periodiske funktioner |
1931 |
K. Gödel beviser aritmetikkens ufuldstændighed |
1933 |
Kolmogorov formulerer det målteoretiske grundlag for sandsynlighedsregningen |
1934 |
A.O. Gelfond og T. Schneider beviser, at visse tal af formen ab er transcendente (et af Hilberts problemer) |
1936 |
A.N. Turing udvikler begrebet Turingmaskine |
1937 |
I. Vinogradov beviser, at ethvert tilstrækkeligt stort ulige tal er en sum af 3 ulige primtal (jf. Goldbachs formodning) |
1940 |
K. Gödel beviser, at kontinuumshypotesen er konsistent med de sædvanlige aksiomer for mængdelæren |
1944 |
S. Kakutani beviser en nøje sammenhæng mellem Brownske bevægelser og potentialteori |
1949 |
A. Weil beviser Riemanns hypotese for funktionslegemer over endelige legemer |
1950 |
L. Schwartz publicerer sin bog om distributionsteori |
1956 |
H. Cartan og S. Eilenberg publicerer Homological Algebra
|
1957 |
J. Milnor beviser, at der findes forskellige differentiable strukturer på en 7-dimensional sfære |
1960 |
S. Smale beviser Poincarés formodning for kugleflader af dimension n ≥ 5. F. Adams løser Hopf-invariant-problemet, som bl.a. viser, at de eneste kugleflader med trivielt tangentbundt er kuglefladerne af dimension 1, 3 og 7, og at de eneste talrum med en multiplikation uden nuldivisorer er talrummene af dimension 1, 2, 4 og 8 |
1963 |
P.J. Cohen beviser, at udvalgsaksiomet og kontinuumshypotesen ikke følger af mængdelærens sædvanlige aksiomer |
M.F. Atiyah og I.M. Singer annoncerer banebrydende resultater om index for elliptiske operatorer på mangfoldigheder |
1965 |
S. Novikov beviser, at Pontrjagin-klasserne for en differentiabel mangfoldighed er topologiske invarianter |
1966 |
A. Grothendieck modtager Fields-medaljen for sine nyskabelser i algebraisk geometri |
1973 |
P. Deligne beviser André Weils formodning om algebraiske mangfoldigheder |
1976 |
K. Appel og W. Haken beviser firefarve-problemet under inddragelse af computerverifikation |
1980 |
Klassifikationen af alle endelige simple grupper afsluttes |
1982 |
S. Donaldson beviser, at blandt talrummene Rn er tilfældet n = 4 det eneste med forskellige differentiable strukturer |
M. Freedman beviser Poincarés formodning for kugleflader af dimension 4 |
1983 |
G. Faltings beviser Mordells formodning angående rationale punkter på algebraiske mangfoldigheder – det første større skridt i dette århundrede imod beviset for Fermats store sætning |
1984 |
L. de Branges beviser Bieberbachs formodning |
1994 |
A. Wiles beviser Fermats store sætning |
I 1900-tallets begyndelse satte en række paradokser (bl.a. Russells paradoks) spørgsmålstegn ved mængdelærens grundlag, som blev præciseret i Zermelo-Fraenkels aksiomer. Det blev påvist, at det såkaldte udvalgsaksiom implicit indgår i mange matematiske resultater, og fundamentale resultater af K. Gödel og P.J. Cohen afklarede, at udvalgsaksiomet såvel som kontinuumshypotesen har samme status i mængdelæren som parallelaksiomet i geometrien.
De klassiske discipliner algebra, geometri og matematisk analyse udviklede sig i mange retninger ved indgående studier af abstrakte strukturer, som ofte er blevet grundlaget i moderne fremstillinger af matematik. Studiet af de abstrakte strukturer bygger på et væld af nye begreber, hvilket har medført et stigende krav om specialisering, og det er blevet vanskeligt for matematikere med forskellige specialer at forstå hinanden. På den anden side har abstraktionerne åbenbaret mange sammenhænge mellem tilsyneladende helt forskellige områder og samtidig gjort det muligt at simplificere tidligere vanskeligt tilgængelige resultater.
Inden for algebraen er klassifikationen af de endelige simple grupper og beviset for Fermats store sætning to af århundredets store landvindinger.
Den matematiske analyse har fået mængdetopologi som abstrakt fundament for en almen beskrivelse af grænseværdi og kontinuitet. Dette fundament er også blevet udgangspunkt for studiet af mangfoldigheder, herunder den moderne differentialgeometri, og for den algebraiske topologi. På den anden side har metoder fra topologi givet anledning til nye algebraiske teorier som homologisk algebra og kategoriteori. Udviklingen af mål- og integralteori og distributionsteori har mangedoblet den matematiske analyses anvendelsesmuligheder og stimuleret funktionalanalysens udvikling.
Inden for fysikken har relativitetsteorien kunnet udnytte differentialgeometrien, og i 1900-tallets sidste halvdel har der været en livlig påvirkning mellem teoretisk fysik og differentialgeometri og Lie-grupper. På lignende vis har kvantemekanikken udnyttet funktionalanalysen, og den har været inspirationskilde for væsentlige områder af operatorteori og operatoralgebra. Også teorien for dynamiske systemer, fraktaler og kaos har rødder i den teoretiske fysik. Disse områder har også nydt godt af udviklingen af kraftige computere, som endvidere har ført til en opblomstring i diskret matematik, bl.a. kombinatorik og grafteori. Computerne har revolutioneret numerisk analyse, og mulighederne for symbolsk manipulation er gradvis ved at blive udnyttet inden for mange andre områder af matematikken.
Læs mere om matematik i underemnerne nedenfor:
Matematik (Samspil med andre fag)
Matematik (Filosofi og Grundlag)
Matematik (Undervisning)
Matematik (Forskningens Udøvelse)
Matematik (Matematikken i Danmark)
Kommentarer
Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.
Du skal være logget ind for at kommentere.