matematik

De tidligst overleverede skriftlige kilder fra Egypten og Babylonien indeholder taltegn og fra ca. 2000 f.Kr. ganske avancerede algoritmer til at løse geometrisk-algebraiske problemer (se Babylonien (matematik) og Egypten i oldtiden (videnskab)). Også i Indien og Kina udvikledes tidligt matematik (se indisk matematik og kinesisk matematik).

Pga. flere fællestræk ved disse tidlige kulturers matematik, bl.a. kendskab til Pythagoras' læresætning, har nogle forskere foreslået et fælles indoeuropæisk ophav til al matematik. De fleste mener dog, at store lokale variationer tyder på flere uafhængige udviklinger.

Det var med den græske matematik (se Grækenland i oldtiden (matematik)) efter 500 f.Kr., at matematikerne begyndte at insistere på, at matematiske resultater skulle bevises (deduceres) ud fra eksplicit formulerede forudsætninger (aksiomer). Dette aksiomatisk-deduktive ideal blev videregivet til Europa af araberne (se arabisk matematik) og er et særkende ved al moderne matematik.

I slutningen af middelalderen fik europæerne kendskab til den arabiske algebra og trigonometri samt til de græske geometriske og talteoretiske klassikere (se middelalderen (matematik)), og fra ca. 1500 begyndte de at bidrage med selvstændige resultater. Fra dette tidspunkt og til ca. 1940 var Europa centrum for den matematiske udvikling.

Den første store europæiske landvinding i renæssancen var Scipione del Ferros (1465-1526) og N. Tartaglias opdagelse af løsningsalgoritmen for tredjegradsligningen. Denne metode, som araberne forgæves havde søgt efter, blev udgivet i G. Cardanos Ars Magna (1545) sammen med Ludovico Ferraris (1522-65) løsning af fjerdegradsligningen. I formlen for tredjegradsligningens løsning vil der ofte optræde kvadratrødder af negative tal. Derfor udviklede Rafael Bombelli (1526-72) i sin algebra fra 1572 en teori for, hvordan man kan regne med sådanne komplekse tal. De blev dog af mange anset for ret mystiske, indtil bl.a. C. Wessel, C.F. Gauss og J.R. Argand omkring 1800 viste, hvordan de kan anskues som punkter i en plan.

Mange matematiske landvindinger i renæssancen blev udviklet i forbindelse med anvendelser inden for forskellige områder som perspektivtegning, musikteori, navigation og korttegning. Især astronomi gav anledning til interesse for plan og sfærisk geometri, som det bl.a. gav sig udslag i J. Regiomontanus' De Triangulis fra 1464 (trykt 1533).

Selvom regning på papir med de hindu-arabiske taltegn i løbet af 1500-t. fortrængte regning på abacus og romertallene, og selvom Simon Stevin (1548-1620) i 1585 genopdagede brugen af decimalbrøker (de havde været brugt af nogle arabere), var det stadig tidskrævende at udføre de multiplikationer af store tal, som var nødvendige i astronomi. Dette problem blev afhjulpet ved J. Napiers og Joost Bürgis (1552-1632) uafhængige opdagelse af logaritmerne i begyndelsen af 1600-t.

Den naturvidenskabelige revolution i 1600-t. fik også betydning for matematikken, som med Galileis og Newtons arbejder blev mekanikkens sprog. De to største landvindinger inden for matematikken var den analytiske geometri (koordinatgeometri) og differential- og integralregningen.

I La Géométrie (1637) forklarede Descartes i forlængelse af F. Viètes analytiske arbejder, hvordan geometriske problemer kan analyseres med algebraiske metoder. Specielt viste han, hvordan kurver kan tilknyttes ligninger i to variable (koordinaterne til et variabelt punkt på kurven). Dermed åbnede han for et algebraisk analytisk studium af kurver. Han viste selv styrken af denne analytiske geometri ved at give en metode til at bestemme normaler (og dermed tangenter) til kurver. Andre tangentmetoder blev foreslået på samme tid af bl.a. E. Torricelli, G.P. Roberval (1602-75) og P. de Fermat.

Mange matematikere, bl.a. F.B. Cavalieri (1598-1647), Roberval, Fermat, Pascal og J. Wallis, fandt også metoder til at bestemme arealer, rumfang og tyngdepunkter af flere figurer end dem, grækerne kunne behandle. Fælles for de fleste af disse metoder var, at fx et areal blev opfattet som en sum af uendelig mange linjestykker (indivisibler) eller uendelig mange uendelig tynde rektangler (infinitesimaler). Disse idéer stred mod det græske ideal om streng bevisførelse uden brug af uendeligheder, som det kom til udtryk i exhaustionsbeviset. De fleste ledende matematikere mente dog, at det var tilladeligt at benytte metoderne til at finde nye resultater. Enkelte så også forbindelsen mellem tangent og arealbestemmelse (især I. Barrow, 1630-77), men denne sammenhæng blev først klart afdækket med Newtons fluxionsregning (1666) og Leibniz' differential- og integralregning (1675).

Med disse infinitesimalregninger skabtes to kalkuler, som tillod en ofte mekanisk og uniform behandling ikke bare af tangent- og arealbestemmelser, men også af fx differentialligninger, der blev formuleret eksplicit i 1690'erne.

Mange andre emner blev behandlet i 1600-t., men i mindre omfang: G. Desargues (1636) og Pascal (1640) tog de første skridt inden for projektiv geometri, Fermat gav banebrydende bidrag til talteorien, Pascal og W. Schickard (1592-1635) opfandt de første mekaniske regnemaskiner, og Fermats og Pascals brevveksling om hasardspil samt C. Huygens' lille bog herom markerer begyndelsen til sandsynlighedsregningen.

I 1700-t. blev differential- og integralregningen konsolideret og især udbygget med discipliner som variationsregning, differentialligninger (ordinære og partielle) og uendelige rækker (der også havde været behandlet i 1600-t.). Herved opstod den matematiske analyse. Analysen blev udviklet i en vekselvirkning med anvendelser inden for især astronomi og mekanik. De centrale personer i denne udvikling var brødrene Jacob og Johann Bernoulli, Euler, d'Alembert, Lagrange og Laplace. Hvor matematikerne i 1600-t. mest havde dyrket faget som en hobby, var 1700-t.s matematikere oftest ansat ved akademier, især ved de betydningsfulde videnskabsakademier i Paris, Berlin og Sankt Petersborg. Ud over analyse videreudvikledes sandsynlighedsregningen, talteorien og med Lagrange teorien for løsning af ligninger.

Med udgangspunkt i Lagranges undersøgelser viste N.H. Abel (1826), at der ikke findes en løsningsformel for den generelle femtegradsligning i stil med de formler, der var fundet for ligninger af lavere grad. Kort efter viste É. Galois, at løsbarhed af en given polynomiumsligning kan afgøres ved at studere en bestemt gruppe, den såkaldte Galoisgruppe. Hans vigtige resultater blev kendt omkring midten af århundredet og fik stor indflydelse på algebraens udvikling. Denne udvikling blev ligeledes stærkt påvirket af Gauss' Disquisitiones Arithmeticae (1801) og af forsøgene på at bevise Fermats store sætning. Resultatet var, at fra at være et studium af ligninger blev algebraen et studium af algebraiske strukturer såsom grupper, ringe og legemer.

En lignende udvikling kan spores inden for geometrien. Hvor matematikerne omkring 1800 var enige med Kant om, at rummets geometri a priori var euklidisk, førte de mislykkede forsøg på at bevise parallelaksiomet til en erkendelse af, at der findes andre geometrier (såkaldte ikke-euklidiske geometrier), som ikke opfylder parallelaksiomet. Gauss, N. Lobatjevskij og J. Bolyai udviklede sådanne geometrier i 1830'erne, og B. Riemann (1854) udbyggede idéerne ved at generalisere differentialgeometriske begreber indført af Gauss i 1827. Disse idéer blev kendt omkring 1870. Sideløbende med denne udvikling blev projektiv geometri efter 150 års dvale taget op af J.V. Poncelet og videreudviklet af bl.a. J. Plücker (1801-68), K.G.C. von Staudt (1798-1867) og M. Chasles. De forskellige geometrier blev klassificeret vha. gruppebegrebet i F. Kleins Erlangen-program, ligesom aksiomsystemet for den euklidiske geometri endelig blev gjort fuldstændigt af bl.a. D. Hilbert (1899).

I 1800-t. blev matematisk forskning mest udført af lærere ved universiteter og højere læreanstalter. Det blev normalt, at universiteterne tilbød undervisning i avanceret matematik. Denne kobling mellem forskning og undervisning førte bl.a. til, at flere lærere, der underviste i differential- og integralregning, fandt det eksisterende grundlag for analysen utilstrækkeligt. Bl.a. A.L. Cauchy, R. Dedekind og K. Weierstrass lagde dermed grunden til en stringent aritmetisering af analysen. Bl.a. blev de reelle tal konstrueret, og kontinuitet (og uniform kontinuitet) af funktioner samt konvergens af følger og uniform konvergens af funktionsfølger præcist defineret.

Desuden skete store tekniske landvindinger inden for analyse. Således grundlagdes den komplekse funktionsteori af Cauchy, Riemann og Weierstrass, bl.a. i forbindelse med de af Abel og C.G. Jacobi indførte elliptiske funktioner, og G. Cantor udviklede sin teori for uendelige mængder. En del teorier opstod i sammenhæng med anvendelser, bl.a. Fourieranalyse (varmeledning) og Stokes' sætning (hydro- og elektrodynamik). Også sandsynlighedsregningen blev gjort analytisk af bl.a. Laplace.

Et af de gennemgående karakteristika for matematikken i 1800-t. var, at den i stadig højere grad fokuserede på kvalitative egenskaber. Fx i differentialligningsteorien blev eksistens- og entydighedssætninger centrale, og løsningernes kvalitative opførsel studeredes af bl.a. C.F. Sturm og J. Liouville og senere af H. Poincaré i forbindelse med ikke-lineære ligninger. Dette samt kvalitative geometriske overvejelser ledte i slutningen af århundredet til topologiens fødsel som disciplin.

I 1900-t. er der blevet udviklet mere matematik end i alle tidligere århundreder tilsammen. Mange konkrete problemer er blevet løst, (bl.a. de fleste af Hilberts problemer, se David Hilbert), og matematikken har fået en hidtil uset abstrakt karakter, bl.a. byggende på mængdelæren.

I 1900-t.s begyndelse satte en række paradokser (bl.a. Russells paradoks) spørgsmålstegn ved mængdelærens grundlag, som blev præciseret i Zermelo-Fraenkels aksiomer. Det blev påvist, at det såkaldte udvalgsaksiom implicit indgår i mange matematiske resultater, og fundamentale resultater af K. Gödel og P.J. Cohen afklarede, at udvalgsaksiomet såvel som kontinuumshypotesen har samme status i mængdelæren som parallelaksiomet i geometrien.

De klassiske discipliner algebra, geometri og matematisk analyse udviklede sig i mange retninger ved indgående studier af abstrakte strukturer, som ofte er blevet grundlaget i moderne fremstillinger af matematik. Studiet af de abstrakte strukturer bygger på et væld af nye begreber, hvilket har medført et stigende krav om specialisering, og det er blevet vanskeligt for matematikere med forskellige specialer at forstå hinanden. På den anden side har abstraktionerne åbenbaret mange sammenhænge mellem tilsyneladende helt forskellige områder og samtidig gjort det muligt at simplificere tidligere vanskeligt tilgængelige resultater.

Inden for algebraen er klassifikationen af de endelige simple grupper og beviset for Fermats store sætning to af århundredets store landvindinger.

Den matematiske analyse har fået mængdetopologi som abstrakt fundament for en almen beskrivelse af grænseværdi og kontinuitet. Dette fundament er også blevet udgangspunkt for studiet af mangfoldigheder, herunder den moderne differentialgeometri, og for den algebraiske topologi. På den anden side har metoder fra topologi givet anledning til nye algebraiske teorier som homologisk algebra og kategoriteori. Udviklingen af mål- og integralteori og distributionsteori har mangedoblet den matematiske analyses anvendelsesmuligheder og stimuleret funktionalanalysens udvikling.

Inden for fysikken har relativitetsteorien kunnet udnytte differentialgeometrien, og i 1900-t.s sidste halvdel har der været en livlig påvirkning mellem teoretisk fysik og differentialgeometri og Lie-grupper. På lignende vis har kvantemekanikken udnyttet funktionalanalysen, og den har været inspirationskilde for væsentlige områder af operatorteori og operatoralgebra. Også teorien for dynamiske systemer, fraktaler og kaos har rødder i den teoretiske fysik. Disse områder har også nydt godt af udviklingen af kraftige computere, som endvidere har ført til en opblomstring i diskret matematik, bl.a. kombinatorik og grafteori. Computerne har revolutioneret numerisk analyse, og mulighederne for symbolsk manipulation er gradvis ved at blive udnyttet inden for mange andre områder af matematikken.

Læs mere om matematik i underemnerne nedenfor.