mængdealgebra

Mængdealgebra, regning med mængder. Formålet var oprindelig at give klassisk logik en algebraisk form og derved opnå tilsvarende fordele, som bogstavregning giver ved tal (G. Boole, 1847 og 1854). I dag er mængdealgebraen et sprog, der benyttes i al videregående matematik.

En mængde A siges at være en delmængde af en mængde B, hvis hvert element i A også tilhører B; det skrives AB. Denne inklusion er nok en ordning af mængder, men ikke total: Ofte gælder hverken AB eller BA.

At mængderne A = B svarer til, at AB og BA. Når AB, men AB, kaldes A en ægte delmængde af B; det skrives AB. Den tomme mængde ∅, der ingen elementer har, regnes for delmængde af enhver mængde.

Mange matematiske udsagn kan bringes på formen A = B eller AB. At x+y = 1 er en ligning for den rette linje gennem punkterne (1,0) og (0,1) i et koordinatsystem, kommer således ud på, at mængden A af punkter, hvis koordinater (x,y) passer i ligningen, er lig mængden B af punkter på linjen.

Fællesmængden AB for to mængder A og B består af de elementer, der tilhører begge mængder, foreningsmængden (eller unionsmængden) AB af de elementer, der tilhører mindst en af mængderne, og differensmængden eller mængdedifferensen BA af de elementer, der tilhører B, men ikke A.

Som eksempler på regneregler kan nævnes de distributive love A∩(BC) = (AB)∪(AC), A∪(BC) = (AB)∩(AC).

Ofte betragtes kun delmængder af en given fast mængde X, der så kaldes universalmængden. Mængden XA kaldes da komplementærmængden til A og betegnes ∁A. Der gælder ∁(∁A) = A og de Morgans formler ∁(AB) = (∁A)∪(∁B), ∁(AB) = (∁A)∩(∁B).

Alle regneregler er i princippet elementære: Man kan kontrollere en regel, hvori der indgår n vilkårlige mængder, ved at gennemgå de 2n muligheder for tilhørsforhold til disse.

Mængdeproduktet eller det cartesiske produkt A×B af to mængder A og B består af alle par (x,y), hvor x og y er elementer i A hhv. B.

I en familie (Aj)jJ af mængder er der til hvert indeks j knyttet en mængde Aj . Indeksmængden J må gerne være uendelig. Fællesmængden består her af de elementer, der tilhører alle Aj , mens foreningsmængden består af de elementer, der tilhører mindst et Aj .

De distributive love, de Morgans formler og andre regler kan generaliseres til familier af mængder.

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig