Algebra er en gren af matematikken og kaldes også bogstavregning. De primære begreber i bogstavregning er addition og multiplikation: Med udgangspunkt i to tal \(a\) og \(b\) kan vi danne to nye tal, summen \(a+b\) og produktet \(a\cdot b\). De sekundære operationer er differensen \(b-a\), der er løsningen til ligningen \(a+x=b\), og brøken \(b/a\), der er løsningen til ligningen \(x\cdot a = b\) (\(a \neq 0\)). Reglerne for manipulation med disse symboler udgør den elementære algebra. Den praktiske udførelse af disse operationer kaldes regning (aritmetik).
Faktaboks
- Etymologi
- Ordet algebra er latin, af arabisk al-jabr 'genforeningen'.
- Også kendt som
-
bogstavregning
Algebra adskiller sig fra regning ved at være forsynet med et sprog, i hvilket vi kan operere med tal uden at kende deres præcise værdi. Herved sættes vi ofte i stand til at nedskrive en eller flere ligninger, hvis løsning fører til bestemmelse af et søgt tal.
Udviklingen fra elementær algebra til abstrakt algebra eller moderne algebra hænger sammen med talbegrebets udvikling: fra hele tal, rationale tal, reelle tal til komplekse tal, kvaternioner og p-adiske tal. Abstrakt algebra har udviklet sig i lyset af, at det har vist sig principielt umuligt at konstruere et talbegreb, der er tilstrækkeligt omfattende.
I abstrakt algebra beskæftiger man sig med kompositionsregler, dvs. operationer, der ud fra to elementer \(m\) og \(n\) af en given art konstruerer et nyt element \(m \circ n\) af samme art (se algebraisk struktur). Disse operationer vil være underlagt regler analoge til dem, vi kender fra sædvanlig addition eller multiplikation, mens naturen af de elementer, vi komponerer, er ubestemt. En væsentlig grund til dette er, at de manipulerede objekter kan være så komplicerede, at det er nødvendigt at frigøre sig fra irrelevante egenskaber for at skabe overblik og dermed mulighed for analogi.
Et grundtema i algebra er repræsentationen af et algebraisk system som operatorer på forskellige geometriske systemer. Et simpelt og velkendt eksempel er operationen af de sædvanlige hele tal på et matadorbræt: et tal \(n\) og en position \(r\) (rød bil) komponeres til en ny position \(n*r\) (\(r\) flyttes \(n\) pladser frem). Denne operation opfylder \((n+m)*r = m*(n*r)\), en velkendt erfaring gjort af enhver, der har spillet matador med to terninger. Se også repræsentationsteori.
I algebra som i al anden matematik er der en dualitet mellem den generelle teori og konkrete, enestående objekter. Dette kan bedst udtrykkes ved analogi med geometri, der på den ene side indeholder generelle regler, fx den pythagoræiske læresætning, og på den anden side fx de fem regulære polyedre: tetraeder, hexaeder, oktaeder, dodekaeder og ikosaeder.
Undertiden kan sådanne sjældne eller enestående objekter i algebra beskrive objekter fra den fysiske virkelighed: Symmetrierne af en fysisk krystal kan sammensættes, hvorved der opstår en gruppe. Det er et resultat fra algebraen, at der findes i alt \(219\) sådanne krystallografiske grupper, hvilket på den anden side er det samme som antallet af fysiske krystalformer. Dette er bemærkelsesværdigt i lyset af, at algebraen ikke indeholder nogen form for antagelse om naturens orden. Lignende eksempler kan findes i kemi, atomfysik og kvantemekanik.
Algebra anvendes i alle grene af geometri, specielt algebraisk geometri og algebraisk topologi; man kan karakterisere algebra som geometriens bogholder.
Algebraens formsprog er en direkte forudsætning for it, der på den anden side selv har stimuleret udviklingen af nyere grene af algebra, såsom kodningsteori og kryptografi.
Kommentarer
Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.
Du skal være logget ind for at kommentere.