p-adisk tal

P-adisk tal, (2. led -adisk fra gr. adj. til fx monade 'enhed' og triade 'trehed'), talteoretisk begreb. Til hvert primtal p hører et legeme, Q_p, bestående af de såkaldte p-adiske tal. Dette legeme indeholder ud over de rationale tal en række "tal", der ikke svarer til tal fra vores sædvanlige (reelle) talsystem.

Grundlæggende i p-adisk analyse er et ændret afstandsbegreb: For et rationalt tal x ≠ 0 sættes |x|_p = p^-k, hvor p^k er den entydigt bestemte potens af p, så hverken tæller eller nævner i x/p^k er delelige med p; herefter defineres den p-adiske afstand mellem x og y som |x−y|_p. Denne afstand har egenskaber analoge til den sædvanlige afstand |x−y|. Således kan de reelle tal opfattes som grænseværdier for Cauchyfølger af rationale tal, idet afstanden, der ligger til grund for konvergensen, er den sædvanlige, og tilsvarende kan de p-adiske tal opfattes som grænseværdier for Cauchyfølger af rationale tal, idet afstanden nu er den p-adiske. Ethvert p-adisk tal er grænseværdi for en entydigt bestemt uendelig række af formen

,

hvor koefficienterne a_n er hele tal med 0 ≤ a_n < p.

Legemet af p-adiske tal har en række egenskaber fælles med legemet af reelle tal, og p-adisk analyse spiller i visse grene af talteori en rolle parallel med sædvanlig (reel) analyse.