algebraisk struktur

Artikelstart

Algebraisk struktur, i matematikken en mængde forsynet med en eller flere "regneoperationer", der opfylder visse grundsætninger, aksiomer, som fx den associative og kommutative regel.

Ved en binær operation, eller komposition, ◦, på en mængde S forstås en tilordning, som til ethvert talpar (a,b) med a og b hørende til S knytter et element ab i S.

Fx er addition, symboliseret ved operatoren +, en komposition i mængden af hele tal, Z, da der ud fra to hele tal a og b kan dannes et nyt helt tal, a+b.

Eksempler på algebraiske strukturer er de hele, rationale eller reelle tal forsynet med addition og/eller multiplikation. De opfylder den associative og kommutative regel samt en distributiv lov. Matricer med multiplikation opfylder den associative regel, men ikke den kommutative. For en algebra, dvs. en ring, der indeholder et legeme i sit centrum, kan som eksempel nævnes polynomier med hele eller komplekse koefficienter, matricer med koefficienter i et legeme, grupperinge og Lie-algebraer.

Andre vigtige eksempler på algebraisk struktur er grupper, Lie-grupper, moduler og vektorrum.

Eksempler

  • Mængden S tænkes forsynet med kompositionen ◦.
  • Den kommutative regel: ab = ba for alle a og b hørende til S.
  • Den associative regel: a◦(bc) = (ab)◦c for alle a, b og c hørende til S.
  • Fx gælder begge regler for + og · inden for de reelle tal.
  • Et neutralt element e i S opfylder: ea = ae = a for alle a hørende til S.
  • Fx er 0 neutralt over for + og 1 neutralt over for ·.
  • Et element a siges at være invertibelt, hvis der findes et element b, så ab = ba = e. I så fald kaldes b for a's inverse element.
  • Hvis S er forsynet med to kompositioner, ◦ og +, siger de distributive love: a◦(b+c) = ab + ac og (a+b)◦c = ac + bc. Fx gælder de distributive love for · og + i den nævnte rækkefølge, og generelt kun denne, grundet operatorernes indbyrdes præcedens (multiplikation før addition).

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig