Et koordinatsystem er en fast geometrisk figur eller referenceramme, i forhold til hvilken punkters beliggenhed angives ved talsæt, de såkaldte koordinater.

Koordinatsystemer i planen

Koordinatsystemer
Koordinatsystemer
Licens: CC BY SA 3.0

Det plane retvinklede eller cartesiske koordinatsystem, som indførtes af Descartes i 1600-tallet, består af en x-akse (eller førsteakse eller abscisseakse) og en derpå vinkelret y-akse (eller andenakse eller ordinatakse), begge forsynet med en skala og med en pil pegende i den positive retning. Koordinaterne \( (x,y) \) for et punkt \(P\) fås ved projektion på de to akser. Aksernes skæringspunkt \(O\) kaldes begyndelsespunktet eller origo. Koordinatsystemet er basis for analytisk geometri i planen, hvor rette linjer og kurver beskrives ved ligninger indeholdende \(x\) og \(y\).

Polære koordinater i planen

Der findes andre koordinatsystemer end det retvinklede. Benyttes to akser, der ikke står vinkelret på hinanden, har man et skævvinklet koordinatsystem. Et punkt \(P\) kan også fastlægges ved afstanden \(r\) fra \(O\) til \(P\) samt vinklen \(u\) fra x-aksen til linjestykket fra \(O\) til \(P\). Man kalder \(u\) og \(r\) for punktets polære koordinater; for \(O\) er vinklen ubestemt. Overgangen fra polære til retvinklede koordinater udtrykkes ved de trigonometriske funktioner cosinus og sinus, idet \[x = r\cos u \quad \text{og} \quad y = r \sin u.\]

Koordinatsystemer i rummet

Ved at tilføje en z-akse eller tredjeakse, der ikke ligger i planen, til et plant koordinatsystem fås et koordinatsystem i rummet. Således kan det retvinklede koordinatsystem suppleres med en z-akse, der er vinkelret på planen. Derved fremkommer det treretvinklede koordinatsystem, hvor et punkt angives ved en tripel \( (x,y,z) \). De tre akser skal være i højrestilling: Griber man om z-aksen med højre hånd, så de fire fingre peger i retning fra x-aksen til y-aksen, da vil tommelfingeren pege i z-aksens retning. I den analytiske geometri i rummet benyttes koordinaterne \( (x,y,z) \) til beskrivelse af linjer, kurver, planer og flader.

En analog indførelse af en z-akse i det polære koordinatsystem fører til de såkaldte cirkulærcylindriske koordinater. Et skævvinklet koordinatsystem i rummet fås af det skævvinklede koordinatsystem i planen ved tilføjelse af en tredjeakse, der ikke er vinkelret på planen.

Sfæriske koordinater i rummet

Et koordinatsystem i rummet behøver dog ikke at fremkomme ved en supplering af et koordinatsystem i planen. Man kan således angive beliggenheden af et punkt \(P\) i rummet ved hjælp af sfæriske koordinater. Disse er: afstanden \(r\) fra begyndelsespunktet \(O\) samt to vinkler, \(\theta\) og \(\varphi\), hvor vinklen \(\theta\) måles fra en fast polarakse, mens \(\varphi\) måles fra en fast retning i den på polaraksen vinkelrette ækvatorplan. En retning i rummet kan beskrives ved de to vinkler. Man anvender lignende vinkler i geografien (se bredde og længde) og i astronomien (se astronomiske koordinater).

Koordinat transformationer

Mere generelt kan overgangen til et nyt koordinatsystem beskrives som en transformation fra retvinklede koordinater \(x, y, z \) til nye koordinater \(u_1(x,y,z), u_2(x,y,z), u_3(x,y,z)\) med det krav, at transformationens Jacobideterminant skal være forskellig fra nul. Sådanne koordinattransformationer spiller en stor rolle i bl.a. differentialgeometri.

Højere dimensioner

De retvinklede koordinatsystemer og transformationer af disse kan indføres helt analogt i vektorrum af højere dimension end 3.

Læs mere i Den Store Danske

Kommentarer

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig