komplekse tal

Komplekse tal er tal, som er fremkommet ved udvidelse af det reelle talområde, bl.a. for at give mening til kvadratrødder af negative tal. Hvis man anskueliggør de reelle tal som punkter på en linje R, kaldet den reelle akse, så svarer de komplekse tal til punkterne i en plan C, som går gennem R. C kaldes den komplekse plan. Afstanden \(r\) fra \(0\) til et komplekst tal \(z\) kaldes modulus eller den numeriske værdi af \(z\) og betegnes \(|z|\), og for \(z \neq 0\) betegnes vinklen \(\theta\) fra R til halvlinjen fra \(0\) gennem \(z\) med \(arg\space z\) (argumentet af \(z\)).

Summen \(z_1+z_2\) af to komplekse tal fås ved vektoraddition, mens produktet \(z_1 z_2\) for \(z_1,z_2 \neq 0\) er givet ved \[|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|,\]\[\arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2\] Alle sædvanlige, rent algebraiske regneregler viser sig at gælde for komplekse tal, men man må give afkald på en fornuftig ordning.

Ligningen \(z^2=-1\) har åbenbart to løsninger i den komplekse plan. Den ene, frit valgt, betegnes \(i\), den imaginære enhed. Tallene \(iy\) med reelt \(y\) kaldes rent imaginære. Et komplekst tal kan tydeligvis på netop én måde skrives \(z=x+iy\), hvor \(x\) og \(y\) er reelle; \(x\) kaldes realdelen og \(y\) kaldes imaginærdelen af \(z\) og kan tolkes som koordinater til \(z\) i den komplekse plan. Tallet \(\bar{z}=x-iy\) kaldes det konjugerede til \(z=x+iy\). Erstattes hvert tal i en sædvanlig udregning med sit konjugerede, bliver resultatet konjugeret. Der gælder endvidere \(z\bar{z}=|z|^2\).

Inden for de komplekse tal har ethvert n'te-grads-polynomium netop n rødder (algebraens fundamentalsætning). For eksponentialfunktionens udvidelse til komplekse tal gælder \(z=re^{i\theta}\), når \(r=|z|\) og \(\theta=\arg z\).