logik

En vigtig opgave for logikken er at identificere de småord og sætningsformer, som er bestemmende for en slutnings logiske form. Ligesom "ikke" og "hvis..., så..." spiller ordene "og" og "eller" en afgørende rolle.

Sætninger opbygget vha. "hvis..., så..." kaldes implikationer. Opbygges de af "ikke", "og" og "eller", kaldes de hhv. negationer, konjunktioner og disjunktioner. De nævnte småord kaldes logiske konnektiver, og man har i moderne logik indført tegn for dem: ⇒ for "hvis..., så...", ¬ for "ikke", ∧ for "og" og ∨ for "eller". Sætninger, der ikke indeholder disse ord, kaldes atomare sætninger.

Der kan således bygges en omfattende klasse af sætninger op ved at tage udgangspunkt i de atomare sætninger og sammenføje dem ved anvendelse af implikation, negation, konjunktion og disjunktion. Dette system af sætninger kaldes det udsagnslogiske eller sætningslogiske sprog. Man kan derefter undersøge, hvilke regler der gælder for slutninger udelukkende formuleret i dette simple sprog.

Generelt er man i logikken interesseret i at undersøge, om det er logisk korrekt at slutte fra et antal præmisser A₁,...,A_n til en konklusion K, hvor A'erne og K er sætninger formuleret i fx sætningslogikkens sprog. Korrekt logisk følge defineres således:

K følger af præmisserne A₁,...,A_n betyder, at K's sandhed er en konsekvens af præmissernes sandhed. Eller sagt på anden måde: Det er umuligt at have en situation, hvor alle præmisserne er sande, men konklusionen falsk.

Slutningsskemaet ovenfor er et eksempel på et logisk gyldigt slutningsskema. Man skriver A₁,...,A_n ⊧ K, hvis K følger logisk af præmisserne.

Hvis man skal vise, at K følger af præmisserne, skal man i princippet vise, at uanset hvordan sandheden af de indgående udsagn varieres, vil konklusionen altid blive sand, når alle præmisserne er sande. Tilsvarende kan man vise, at et slutningsskema er logisk ugyldigt, ved at angive en situation, hvor alle præmisserne er sande, men konklusionen falsk.

En anden måde at argumentere for, at konklusionen K følger af præmisserne A₁,...,A_n, er at vise, at man kan udlede konklusionen fra præmisserne ved at anvende allerede accepterede gyldige slutningsskemaer på præmisserne igen og igen og således til sidst komme frem til konklusionen. Hvis dette er muligt, skriver man A₁,...,A_n ⊦ K og siger, at K kan bevises ud fra præmisserne A₁,...,A_n ved anvendelse af bestemte slutningsregler.

Det er muligt at vise, at man for sætningslogikkens vedkommende kan finde et lille antal logisk gyldige slutningsskemaer, ud fra hvilke det er muligt at bevise alle logisk gyldige slutninger. Der gælder således, at en konklusion følger fra et sæt af præmisser, hvis og kun hvis konklusionen kan bevises ud fra de samme præmisser. Dette kan udtrykkes således:

A₁,...,A_n ⊧ K hvis, og kun hvis, A₁,...,A_n ⊦ K

Der er således fuldstændig overensstemmelse mellem logisk gyldighed og beviselighed i sætningslogikken. Man siger, at sætningslogikken er semantisk fuldstændig.

I nogle tilfælde kan en sætning K vises at være sand betingelsesløst, dvs. uden at forudsætte præmisser. I dette tilfælde siger man, at K er et logisk sandt udsagn. Fx er alle udsagn af formerne p∨¬p og (p⇒q)⇒(¬q⇒¬p) logisk sande i sætningslogikken. Sådanne sætningsformer kaldes tautologier. Der gælder, at K følger af præmisserne A₁,...,A_n hvis, og kun hvis, A₁,...,A_n⇒K er en tautologi.

Der er mange logiske slutningsformer, hvis gyldighed ikke kan påvises, hvis de formuleres i sætningslogikkens sprog. Betragt fx følgende slutning:

1) For alle mennesker gælder: hvis de spiser gift, så dør de; 2) Søren spiser gift; 3) Altså: Søren dør.

Udtrykkene "for alle..." og "der findes..." er andre vigtige logiske konnektiver. De kaldes hhv. alkvantor og eksistenskvantor og betegnes ∀ og ∃. Udvides sætningslogikkens sprog med disse nye konnektiver, fremkommer prædikatslogikken, der er langt mere udtryksfuld end sætningslogikken. Disse to logiske systemer udgør grundlaget for den moderne logik.

Prædikatslogikken er også semantisk fuldstændig i betydningen "A1,...,An ⊧ K hvis og kun hvis, A1,...,An ⊦ K", hvilket igen betyder, at alle gyldige prædikatslogiske slutninger kan bevises ud fra en lille mængde simple slutningsskemaer. Dette blev vist af Kurt Gödel i 1930.

Selvom det i prædikatslogikken er muligt at bevise alle logisk sande sætninger, er prædikatslogikken ikke afgørlig. Der findes nemlig ingen effektiv procedure, som til en given sætning afgør, om den er sand eller ej. Prædikatslogikkens principielle uafgørlighed blev bevist af Alonzo Church i 1936.

Både sætnings- og prædikatslogikken kan udvides til mere udtryksfulde logiske systemer. Således kan man tilføje logiske konnektiver, som udtrykker nødvendighed og mulighed, hvilket giver modallogik; man kan tilføje konnektiver vedr. tid, hvilket giver temporallogik; man kan tilføje konnektiver vedr. vurderinger og påbud, hvilket giver deontisk logik; man kan tilføje konnektiver vedr. viden, hvilket giver epistemisk logik.

Disse forskellige logiske systemer kaldes under ét for intensionelle logikker og er karakteriseret ved, at sammensatte udsagns sandhedsværdier ikke direkte afhænger af deludsagnenes sandhedsværdier. Udsagnet "Peter tror, at det regner" kan jo være sandt eller falsk, uanset om "det regner" er sandt eller falsk. De spiller en afgørende rolle i moderne erkendelsesteori, og flere af dem har fundet anvendelse i datalogi.

En anden måde at udvide på er at tilføje mere komplicerede kvantorer. I eksemplet ovenfor blev der kvantoriseret over mennesker, altså objekter. Man kunne også tillade kvantorer, som fx løber over egenskaber. I mange situationer behøver man sådanne kvantorer, fx hvis man vil formalisere Leibniz' princip, som siger, at hvis to objekter har alle egenskaber fælles, så er de identiske. Dette kunne udtrykkes ved:

For alle a og b: hvis, for alle egenskaber P, a og b begge har P, så er a = b.

Når man udvider med kvantorer over egenskaber, får man andenordens prædikatslogik. Man kunne så fortsætte med kvantorer over egenskaber ved egenskaber, hvilket giver tredjeordens logik, og derfra videre til fjerdeordens og femteordens logik og så fremdeles. Fortsætter man med at tilføje kvantorer af alle endelige ordener, når man frem til endelig typeteori.

Typeteorien, der blev udviklet af A.N. Whitehead og Bertrand Russell, har i 1900-t.s slutning fået en renæssance i form af den simple, endelige typeteori. Algoritmer og konstruktive logikker kan i endelig typeteori beskrives på elegant vis, og denne teori spiller derfor en afgørende rolle i såvel teoretisk datalogi som i studiet af matematikkens grundlag.

Det er også muligt at komme frem til andre typer logikker ved at variere definitionen af logisk følge. I definitionen af korrekt logisk følge ovenfor tales om sandhed, og det forudsættes stiltiende, at alle udsagn enten er sande eller falske. Men når man kvantoriserer over uendelige områder, fx over de naturlige tal 1,2,3..., kan det være vanskeligt at afgøre, om et kvantoriseret udsagn er sandt. Fx ved man ikke i dag, om alle lige, naturlige tal kan skrives som sum af to primtal. Man ved altså ikke, om dette udsagn er sandt, og man kan heller ikke være sikker på, om man nogensinde vil få viden om det. Nogle vil derfor sige, at denne type udsagn ikke har nogen sandhedsværdi, før man rent faktisk kan afgøre, om de er sande eller falske. Dette fører til konstruktivistisk og intuitionistisk logik, hvor udsagn ikke behøver at have sandhedsværdier. En anden mulighed er at indføre tre eller flere sandhedsværdier, hvilket giver polyvalente logikker. I begge tilfælde brydes den klassiske logiks bivalensprincip, at enhver hævdende sætning enten er sand eller falsk.

Der findes i dag mange forskellige logiske systemer, og det er et åbent filosofisk spørgsmål, om der blandt disse mange systemer er et eller flere, som erkendelsesteoretisk er mere grundlæggende end de øvrige. Navnlig diskuteres det, om den klassiske logik, hvor alle meningsfulde udsagn kan tildeles en bestemt sandhedsværdi, sand eller falsk, kan begrundes, eller om man må indskrænke logikken til de erkendelsesteoretisk set mere sikre konstruktive logikker.

Udviklingen af moderne logik har ført til mange betydningsfulde resultater, som kaster lys over menneskelig argumentation og rationalitet, og som spiller en afgørende rolle i moderne filosofi, matematik og datalogi. I 1900-t.s begyndelse blev udviklingen af logikken drevet af filosofiske og erkendelsesteoretiske problemstillinger, især i forbindelse med matematikkens grundlag. I dag er logikken et væsentligt værktøj i matematik og datalogi. Den er således blevet en praktisk anvendelig videnskab.