logaritmer

.
Licens: Brukerspesifisert
.
Licens: Brukerspesifisert
.
Licens: Brukerspesifisert

Logaritmer, "regnetal", hvorved multiplikation og division erstattes af addition og subtraktion, en enorm lettelse ved beregninger før lommeregnernes og computernes tid.

Faktaboks

etymologi:
Ordet logaritme kommer af nylatin logarithmus, dannet af J. Napier af græsk logos og arithmos 'tal'.

For eksempel udregnede man 3,251∙43,77 ved at finde logaritmerne log 3,251 = 0,5120, log 43,77 = 1,6412 i en logaritmetabel, lægge sammen, gå ind med summen 2,1532 i en antilogaritmetabel og finde resultatet 142,3. Princippet udnyttes også på en regnestok, hvor man blot skal forskyde en logaritmisk skala langs en anden. Tidligere havde en ingeniør altid en regnestok ved hånden.

Regneregler for logaritmer;

logc betegner logaritmen med grundtal c.

  • logc (a·b)=logca+logcb
  • logc (a/b)=logca-logcb
  • logc (ab)=b·logca
  • logcc=1

De tre væsentligste logaritmer er dem med grundtal e (den naturlige logaritme, loge, skrevet ln), 10 (titalslogaritmen, log10, blot skrevet log, hvis misforståelser kan udelukkes), samt den særligt inden for især informationsteori anvendte binære logaritme (totalslogaritme, log2, i megen videnskabelig litteratur skrevet lg); se bl.a. formlen for informationsmængde.

Indførelsen af logaritmeregning (John Napier i 1614 og uafhængigt heraf den schweiziske urmager Joost Bürgi (1552-1632) i 1620) byggede på udregning en gang for alle af potenser af et tal a tæt på 1: (Napier brugte a = 0,9.999.999, Bürgi a = 1,0001). Et produkt uv er så tilnærmelsesvis ap+q, når ap og aq er tæt ved u og v. Vælges , hvor N er et (stort) helt tal, får man sædvanlige titalslogaritmer (Henry Briggs, 1617) ved at sætte log an = n/N. Pointen er, at log 10 = log aN = N/N = 1.

Det er nok at tabellægge titalslogaritmer til tal mellem 1 og 10: Af log 4,377 = 0,6412 følger log 43,77 = log(10∙4,377) = 1+0,6412 log 437,7 = log(100∙4,377) = 2+0,6412 etc. Efter Briggs kaldes det hele tal karakteristikken, og decimaldelen mantissen (lat. mantissa 'tilføjelse').

Generelt vil en logaritmefunktion sige en kontinuert funktion f :R+R, ikke identisk 0, der opfylder funktionalligningen f (x1x2) = f (x1)+f (x2) for alle x1,x2 > 0. Det vigtigste eksempel i videregående matematik er den naturlige logaritmefunktion ln, der kan defineres ved

dvs. d(ln x)/dx = 1/x og ln 1 = 0. Enhver logaritmefunktion fås af den naturlige ved at gange denne med en konstant. Ganges med 1/ln c, hvor c > 0, c ≠ 1, fås logaritmefunktionen med grundtal c, betegnet logc og kendetegnet ved logc c = 1. Med c = 10 genfindes titalslogaritmen, mens ln = loge, hvor e =2,71828... er givet ved ln e = 1.

Den naturlige logaritmefunktion ln og eksponentialfunktionen exp er hinandens omvendte: y = ln x er ensbetydende med x = ey. Tilsvarende er y = log x ensbetydende med x = 10y, "log x er den potens y, som 10 skal opløftes til for at give x".

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig