Indførelsen af logaritmeregning (John Napier i 1614 og uafhængigt heraf den schweiziske urmager Joost Bürgi (1552-1632) i 1620) byggede på udregning en gang for alle af potenser af et tal a tæt på 1: \[..., a^{-2}, a^{-1}, 1, a, a^2, a^3, ..., a^n,...\] (Napier brugte \(a=0,9999999\), Bürgi \(a = 1,0001\)). Et produkt \(uv\) er så tilnærmelsesvis \(a^{p+q}\), når \(a^p\) og \(a^q\) er tæt ved \(u\) og \(v\). Vælges \(a=\sqrt[n]{10}=10^{1/N}\), hvor \(N\) er et (stort) helt tal, får man sædvanlige titalslogaritmer (Henry Briggs, 1617) ved at sætte \(\log a^n = n / N\). Pointen er, at \(\log 10 = \log a^N = N/N = 1\).
Det er nok at tabellægge titalslogaritmer til tal mellem \(1\) og \(10\):
Af \(\log 4,377 = 0,6412\) følger \(\log 43,77 = \log(10\cdot 4.337) = 1 + 0.6412\), \(\log 437,7 = \log (100 \cdot 4,377) = 2 + 0,6412\), osv.
Efter Briggs kaldes det hele tal karakteristikken, og decimaldelen mantissen (af latin mantissa 'tilføjelse').
Generelt vil en logaritmefunktion sige en kontinuert funktion \( f \ : \ \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}\), ikke identisk \(0\), der opfylder funktionalligningen \(f(x_1x_2) = f(x_1) + f(x_2)\) for alle \(x_1, x_2 > 0\). Det vigtigste eksempel i videregående matematik er den naturlige logaritmefunktion \(\ln\), der kan defineres ved \[\ln x = \int^x_1 \frac{1}{t} dt,\] dvs. \(d(\ln x) /dx = 1/x\) og \(\ln 1 = 0\). Enhver logaritmefunktion fås af den naturlige- ved at gange denne med en konstant. Ganges med \(1/\ln c\), hvor \(c > 0\), \(c\neq 1\), fås logaritmefunktionen med grundtal \(c\), betegnet \(\log_c\). Med \(c = 10\) genfindes titalslogaritmen, mens \(\ln = \log_e\), hvor \(e\) betegner Eulers tal og er givet ved \(\ln e = 1\).
Den naturlige logaritmefunktion \(\ln\) og eksponentialfunktionen \(\exp\) er hinandens omvendte: \(y = \ln x\) er ensbetydende med \(x = e^y\). Tilsvarende er \(y = \log x\) ensbetydende med \(x = 10^y\), "\(\log x\) er den potens \(y\), som \(10\) skal opløftes til for at give \(x\)".
Kommentarer (1)
skrev Hans Bendix Pedersen
I forbindelse med den naturlige logaritmerfunktion er der lidt interessant række 1-1/2+1/3-1/4+.... som er konvergent med summen ln 2, og det kan man jo så tænke lidt over.
Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.
Du skal være logget ind for at kommentere.