trigonometriske funktioner

Trigonometriske funktioner. Tv. viser 1-4 den geometriske definition på de seks trigonometriske funktioner ud fra forholdet mellem vinkler og sidelængder i en retvinklet trekant med hypotenuse 1. Th. grafer for de trigonometriske funktioner.

.

Artikelstart

De trigonometriske funktioner omfatter de seks matematiske funktioner sinus (\(\sin\)), cosinus (\(\cos\)), tangens (\(\tan\)), cotangens (\(\cot\)), secans (\(\sec\)) og cosecans (\(\text{cosec}\)), der alle kan defineres ud fra vinkler og forhold mellem sidelængder i retvinklede trekanter. Fx er cos u forholdet mellem den ene katete og hypotenusen i en retvinklet trekant, hvis vinkel mellem kateten og hypotenusen er u (målt i radianer; 2π radianer = 360°). De trigonometriske funktioner spiller dermed en stor rolle i trigonometri, men også i bl.a. matematisk analyse.

Cosinus og sinus er reelle funktioner defineret for alle reelle værdier af den variable u. De øvrige trigonometriske funktioner kan defineres ud fra cosinus og sinus: \[\tan u = \dfrac{\sin u}{\cos u}\ ,\ \cot u=\dfrac{\cos u}{\sin u}\ ,\ \sec u=\dfrac{1}{\cos u}\ \text{og}\ \text{cosec}\ u=\dfrac{1}{\sin u} .\] De to sidstnævnte funktioner er mindre anvendt. Tangens og secans er kun defineret for \(u\neq \tfrac{1}{2}\pi+n\cdot\pi\), hvor n er et helt tal, mens cotangens og cosecans kun er defineret for \(u\neq n\cdot\pi\). Alle seks funktioner er periodiske: cosinus, sinus, secans og cosecans med perioden 2\(\pi\), tangens og cotangens med perioden \(\pi\).

Historie

De trigonometriske funktioner har deres oprindelse i de kordetabeller, som de græske astronomer, bl.a. Hipparchos og Ptolemaios, anvendte i antikken til astronomiske beregninger. I Ptolemaios' værk Almagest findes en tabel over længden af korder, der spænder over cirkelbuer fra 0° til 180° med et interval på \(\tfrac{1}{2}^{°}\). Egentlig spiller det kun en ringe rolle, om man arbejder med korder eller sinusser, idet \(r\cdot\sin\alpha = \tfrac{1}{2}k(2\alpha)\), hvor r er cirkelbuens radius, og \(k(2\alpha)\) er kordelængden i cirkelbuen til centervinklen \(2\alpha\); dvs. at kordelængden og sinus er proportionale.

Omkring 510 optrådte denne tabel omformet til en sinustabel hos den indiske matematiker Aryabhata 1, men selve navnet sinus forekom først hos Gherardo af Cremona (1114-84) i en oversættelse af Almagest fra arabisk til latin. Araberne indførte tangens- og cotangenstabeller omkring 860, men hele terminologien, som den bruges i dag, og betegnelsen trigonometri blev først udviklet i Europa i 1400-1600-tallet af bl.a. Johannes Regiomontanus, François Viète og den engelske matematiker Edmund Gunter (1581-1626). Det var danskeren Thomas Fincke, der indførte betegnelsen tangens i værket Geometriae Rotundi (1583).

I løbet af 1600-1700-tallet blev de omvendte relationer til sinus, cosinus osv. indført (se invers afbildning) af bl.a. den skotske matematiker James Gregory (1638-75), Leibniz og især Euler. Disse omvendte relationer er flertydige funktioner, der kaldes cirkulære funktioner eller arccusfunktioner; de defineres som \(\arcsin x = y\), når \(\sin y = x\), \(\arccos x = y\), når \(\cos y = x\) osv.

I 1700-tallet blev algebraisering og rækkeudviklinger nye hjælpemidler (jf. potensrække), og interessen samledes om relationer mellem funktioner. Eksempelvis gav de Moivres formel \[(\cos\varphi + i\sin\varphi)^n = \cos n\varphi + i\sin n\varphi\] og Eulers formel \(e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi\) anledning til formlerne \[\cos\varphi=\dfrac{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2}\quad \text{og}\quad \sin\varphi=\dfrac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i} . \] Her er i den imaginære enhed (se komplekse tal).

Herefter var det nærliggende at indføre hele gruppen af hyperbolske funktioner begyndende med \[\cosh\varphi=\dfrac{e^{\varphi}+e^{-\varphi}}{2}\quad \text{og}\quad \sinh\varphi=\dfrac{e^{\varphi}-e^{-\varphi}}{2} .\] Endvidere kunne man udvide cosinus og sinus til at være defineret i hele den komplekse plan.

Trigonometriske rækker blev bl.a. studeret af J. Fourier i hans arbejde med at rækkeudvikle periodiske funktioner, se Fourieranalyse.

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig