Fourieranalyse

Enhver funktion f af formen (1) er periodisk med periode L, dvs. f (x+L) = f (x ) for alle x tilhørende de reelle tal. I det følgende foretages en normering, så p = 1, dvs. L = 2π. Fra et matematisk synspunkt vil en tone kunne indeholde uendelig mange overtoner, svarende til at N kan blive vilkårlig stor. Fourier forsøgte at fremstille en vilkårlig reel periodisk funktion f som en sum (1) med uendelig mange led. Idet additionsformlen for sinus medfører, at r_n sin(nx−q_n) kan omskrives til a_n cosnx + b_n sinnx, søger man altså at fremstille f som

som kaldes Fourierrækken for f. Man kan vise, at Fourierkoefficienterne a_n, b_n skal vælges ved formlerne

Fourier hævdede, at enhver periodisk funktion kan fremstilles ved sin Fourierrække. En vigtig opgave i matematikken har været at præcisere, under hvilke omstændigheder Fouriers udsagn er rigtigt. Det er naturligvis nødvendigt at forudsætte, at funktionen f har sådanne egenskaber, at integralerne (2) og (3) har mening. P.L. Dirichlet gav i 1829 som den første et bevis for rigtigheden, når f er kontinuert og stykkevis monoton. På den anden side gav P. Du Bois-Reymond i 1873 et eksempel på en kontinuert funktion, hvis Fourierrække divergerer i et punkt x. Først i 1966 lykkedes det L. Carleson at vise, at Fourierrækken for en kontinuert funktion konvergerer mod f (x) næsten overalt, dvs. bortset fra x i en lille undtagelsesmængde (af Lebesgue-mål 0).

Ved Eulers formler kan Fourierrækken omskrives til en række af formen

Fourierkoefficienterne opfylder Bessels ulighed

og hvis summen udstrækkes fra −∞ til ∞, gælder lighedstegn (Parsevals formel).

Funktioner f, der ikke er periodiske, forsøger man at fremstille ved Fourierintegralet

der er en kontinuert analog til (4), idet

er en funktion, der modsvarer Fourierkoefficienterne (5). Funktionen 2πc kaldes den Fouriertransformerede af f, og den betegnes ϝ(f). Dermed bliver ϝ en afbildning fra funktioner af en reel variabel til funktioner af en reel variabel, kaldet Fouriertransformationen. Der er i 1900-t. udviklet en omfattende teori for gyldigheden af formlerne (6) og (7) byggende på Lebesgues integralteori fra 1902.

Sådan kaldes den abstrakte Fourieranalyse, som udvikledes i 1930'erne. I denne teori betragtes Fourierrækker, Fourierintegraler og næsten-periodiske funktioner som specialtilfælde af funktionsteori på visse kommutative grupper, hvor der eksisterer et invariant mål kaldet Haar-målet (efter den ungarske matematiker A. Haar, 1885-1933).