matematisk analyse

Artikelstart

Matematisk analyse, den del af matematikken, der involverer grænseværdi og kontinuitet. De grundlæggende emner i matematisk analyse er differential- og integralregningen og studiet af uendelige rækker og produkter.

Sammen med algebra og geometri udgør matematisk analyse de vigtigste matematiske discipliner, hvoraf matematisk analyse er den yngste. Der er ikke nogen skarp afgrænsning af de tre discipliner, idet problemstillinger fra én ofte involverer metoder fra de andre. Et klassisk eksempel på dette er analytisk talteori, hvor fx resultater om primtallenes fordeling bevises vha. kompleks analyse.

Store dele af den matematiske analyse er udviklet i samspil med fysik, der ligesom andre naturvidenskaber og tekniske fag stadig udnytter emnet på væsentlig måde. I 1900-t. fandt den matematiske analyse stigende anvendelse i samfundsvidenskabelige fag, fx økonomi, og store områder i sandsynlighedsregning og statistik bygger direkte på emnet, fx multivariat analyse.

Begyndelse

Den matematiske analyse opstod i 1600-t. af behovet for at kunne bestemme kurvetangenter, kurvelængde, maksimum og minimum, areal og volumen samt tyngdepunkter. Siden den græske oldtid er sådanne problemer blevet løst i specielle tilfælde, fx havde Archimedes bestemt kuglens overflade og volumen. Med Newtons og Leibniz' opdagelse af differential- og integralregningen i anden halvdel af 1600-t. fik man et middel i hænde til principielt at løse disse opgaver. Differentialregningen var også velegnet til beskrivelse af fysiske størrelser, der ændrer sig i rum og tid; fx er hastighed en differentialkvotient. Derfor kan en række fysiske love udtrykkes ved hjælp af differentialligninger.

Jakob og Johann Bernoulli videreudviklede Leibniz' idéer, og differentialregningen fik en samlet fremstilling i l'Hospitals bog Analyse des infiniment petits (1696). Euler bidrog afgørende til den matematiske analyses konsolidering i 1700-t. og udgav bl.a. Introductio in Analysin Infinitorum (1748), som sammen med hans senere bøger om differential- og integralregning prægede udviklingen langt ind i 1800-t. Euler og Lagrange udviklede variationsregningen, der kan behandle maksimums- og minimumsproblemer, hvor den ubekendte er en funktion, og i slutningen af 1700-t. publicerede Laplace og Legendre vigtige arbejder om potentialteori, som blev videreudviklet af Gauss og George Green.

1800-t.

J. Fouriers studier af varmeledning i 1800-t.s begyndelse førte til teorien for Fourierrækker og -integraler, som fik stor indflydelse på funktions- og integralbegrebets udvikling. I mange tilfælde var behandlingen af konvergens af fx uendelige rækker mangelfuld, og der opstod et behov for en stringent fremstilling af den matematiske analyse, ikke mindst fordi den gennem forelæsninger skulle formidles til en større kreds af studerende. I Frankrig realiserede Cauchy dette i bl.a. Cours d'analyse (1821). Han præciserede begrebet grænseværdi og udnyttede det i rækkelæren, hvor han formulerede det almindelige konvergensprincip (se Cauchyfølge). Desuden indførte han det bestemte integral som en grænseværdi af middelsummer og opnåede dermed en stringent behandling af differential- og integralregningen.

Cauchys definition af kontinuitet var dog ikke præcis nok for eftertiden; han var fx ikke i stand til at skelne mellem kontinuitet og uniform kontinuitet. Det var først gennem Weierstrass' forelæsninger i 1860'erne, at analysen blev fremstillet på en fuldt tilfredsstillende måde via ε-δ-definitionen af kontinuitet (se kontinuert funktion). Weierstrass publicerede ikke selv sine forelæsningsnoter, så idéerne blev udbredt via elever og blev indarbejdet i C. Jordans Cours d'analyse, som udkom i tre udgaver i perioden 1882-1915. Den kom derpå til at præge generationer af matematikere.

Grundlaget for den matematiske analyse er mængden R af reelle tal, der intuitivt beskriver punkterne på en ret linje, når der er valgt et begyndelsespunkt og en enhed. En stringent behandling af den matematiske analyse kræver derfor en præcisering af begrebet reelt tal. Weierstrass gjorde dette i sine forelæsninger, og omkring 1870 publicerede bl.a. Cantor og Dedekind fremstillinger ved hjælp af henholdsvis Cauchyfølger og Dedekind-snit. Cantors undersøgelser af trigonometriske rækker førte ham til fundamentale spørgsmål om talmængder, som inspirerede ham til mængdelæren. Den blev i 1900-t. basis for den abstrakte matematiske analyse, som bygger på teorien for metriske og topologiske rum.

I 1800-t. udvikledes desuden teorien for funktioner af en kompleks variabel af blandt andre Cauchy, Riemann og Weierstrass, se kompleks analyse.

1900-t.

Studiet af differentialligninger i 1800-t. førte til indførelse af et væld af nye specielle funktioner, samtidig med at det blev erkendt, at der var behov for kvalitative resultater om løsninger til forskellige klasser af ligninger. Det derved opståede behov for generelle overvejelser med mængder af funktioner førte til funktionalanalysens udvikling i første halvdel af 1900-t. Vigtige bidrag til udviklingen var Lebesgues integralteori og Hilberts arbejder om integralligninger (se Hilbertrum).

Studier af partielle differentialligninger i 1930'erne viste, at det sædvanlige funktionsbegreb er for restriktivt. Problemerne blev overvundet ved L. Schwartz' indførelse af distributionsteori omkring 1950. Blandt vigtige nyskabelser i sidste halvdel af 1900-t. kan nævnes pseudodifferentialligninger, hyperfunktioner og wavelets.

Danmark

Niels Nielsen forsøgte at overføre den Weierstrasske stringens til hjemlige forhold, men først med Harald Bohrs arbejder om Dirichletrækker og næsten-periodiske funktioner markerede Danmark sig internationalt inden for matematisk analyse. Bohr og Mollerups fremragende lærebøger i matematisk analyse i fire bind (1. udg. 1915) blev anvendt ved Københavns Universitet og Den Polytekniske Læreanstalt i et halvt århundrede. Først efter 1960 vandt den abstrakte matematiske analyse indpas i den indledende universitetsundervisning i Danmark.

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig