wavelets

Wavelets er i matematik særlige funktioner, der anvendes til en generalisering af Fourieranalyse. En periodisk funktion kan klassisk udvikles i en Fourierrække, hvorved man får funktionens frekvensspektrum. I wavelet-analyse erstatter man Fourierrækkens basisfunktioner cosinus og sinus med wavelets; da wavelets har bedre lokaliseringsegenskaber mht. såvel rumlig placering som frekvens, kan de anvendes til at analysere ikke-periodiske funktioner, der varierer på flere skalaer. Specielle wavelets har været anvendt i bl.a. fysik og ingeniørvidenskab siden første halvdel af 1900-t., men den generelle matematiske teori (og selve ordet wavelet) fremkom først i 1980'erne. Siden har wavelets fundet talrige anvendelser, bl.a. til billedbehandling (fx ved registrering af fingeraftryk i USA), datakompression og signalanalyse.

Matematisk betegner en wavelet en funktion \(\psi(x)\) af en reel variabel \(x\) med den egenskab, at systemet af funktioner \(\psi_{jk}\), der fremkommer ved translation, \(\psi_k(x) = \psi(x-k)\), kombineret med dilatation, \(\psi_{jk}(x) = \psi_k(2^j x)\), udgør en basis for mængden af kvadratisk integrable funktioner, når \(j\) og \(k\) gennemløber de hele tal. Et eksempel er Haar-waveletten: \(\psi(x) = 1\) på intervallet \([0,1/2[\), \(\psi(x) = -1\) på \([1/2, 1[\), \(\psi(x) = 0\) ellers. Der findes også wavelets i højere dimensioner. I signalanalyse anvendes wavelets ofte i en anden repræsentation baseret på simple operationer med (uendelige) matricer.