Hilbertrum

.
Licens: Brukerspesifisert
.
Licens: Brukerspesifisert
.
Licens: Brukerspesifisert
.
Licens: Brukerspesifisert
.
Licens: Brukerspesifisert

Artikelstart

Hilbertrum, (efter D. Hilbert), i matematik et vektorrum H udstyret med et skalarprodukt (ofte kaldet det indre produkt) (∙,∙), således at H med normen defineret ved er et Banachrum. Hilbertrum og studiet af operatorer på disse spiller en væsentlig rolle inden for funktionalanalysen og ligger i fysikken til grund for den matematiske teori for kvantemekanikken.

Studiet af Hilbertrum begyndte med visse problemer inden for integralligninger. I den forbindelse betragtede D. Hilbert en uendelig-dimensional generalisering af de euklidiske rum bestående af alle reelle talfølger x = (xn), for hvilke er endelig, med skalarproduktet . Et andet Hilbertrum, studeret af F. Riesz, er rummet af kvadratisk integrable funktioner f:RC. Den abstrakte definition af Hilbertrum blev først givet af J. von Neumann i 1929 som led i hans banebrydende forskning i kvantemekanikkens matematiske grundlag. Han studerede kontinuerte lineære operatorer på Hilbertrum og skabte dermed grundlaget for bl.a. operatoralgebra.

En række begreber i teorien for Hilbertrum henter deres navne fra de euklidiske rum. Således kaldes to elementer x,yH for indbyrdes ortogonale, hvis (x,y) = 0. Pythagoras' sætning siger, at , hvis x og y er ortogonale. En delmængde S af H kaldes et ortogonalt system, hvis alle elementer i S er indbyrdes ortogonale; har elementerne desuden norm 1, kaldes S et ortonormalt system. Hvis S = (xi) er et givet ortonormalt system i H, så gælder Bessels ulighed for alle xH.

Et maksimalt ortonormalt system kaldes fuldstændigt eller en basis for H. I så fald (og kun da) gælder lighedstegnet i Bessels ulighed for alle xH. Den betegnes da Parsevals identitet. Alle ortonormale baser for H har samme kardinaltal, som kaldes dimensionen af H. Det følger af Parsevals identitet, at Hilbertrum af samme dimension er isometrisk isomorfe. For et endelig-dimensionalt Hilbertrum kan Gram-Schmidt ortogonalisering benyttes til at konstruere en ortonormal basis.

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig