operatoralgebra

Operatoralgebra er en matematisk disciplin, som grundlagdes af J. von Neumann med henblik på at opstille et matematisk grundlag for kvantemekanikken.

Mængden af begrænsede operatorer på et Hilbertrum er et Banachrum under operatornormen (se operatorteori), og med operationerne sammensætning og adjungering udgør den en algebraisk struktur, en såkaldt \(^*\)-algebra. En delalgebra heraf, som er afsluttet i normtopologien og stabil under adjungering, kaldes en \(C^*\)-algebra. I 1930'erne gennemførte J. von Neumann og den amerikanske matematiker F.J. Murray (1911-96) en klassifikation af de \(C^*\)-algebraer, som er afsluttede i den svage operatortopologi. Disse algebraer kaldes nu von Neumann-algebraer.

To operatorer på et Hilbertrum siges at kommutere, hvis deres produkt er uafhængigt af rækkefølgen. En \(C^*\)-algebra, hvori alle operatorer kommuterer parvis, kaldes kommutativ. Gennem arbejder af først og fremmest von Neumann og I.M. Gelfand er det vist, at de kommutative \(C^*\)-algebraer kan beskrives som kontinuerte funktioner på et topologisk rum. I fysikken kan den klassiske mekanik også beskrives vha. et topologisk rum og algebraen af kontinuerte funktioner herpå. De kvantemekaniske fænomener beskriver fysikken derimod vha. ikke-kommuterende operatorer. Det har fra teoriens start været et gennemgående håb, at der hermed kan skabes en ramme, hvori klassisk mekanik kan ses som et specialtilfælde af kvantemekanikken.

Frem til 1965 studeredes mest generelle strukturer, og de ledende forskere her var franskmanden J. Dixmier (f. 1924) og amerikaneren R.V. Kadison (1925-2018). I 1970 publicerede japanerne M. Tomita (1924-2015) og M. Takesaki (f. 1933) et fundamentalt arbejde, som i 1973 gjorde det muligt for den franske matematiker A. Connes (f. 1947) at klassificere von Neumann-algebraerne af type III. Siden er forskningen gået i mange retninger med afgørende bidrag af bl.a. Connes, U. Haagerup og V. Jones. Den danske indsats i emnet er internationalt anerkendt, bl.a. under ledelse af Gert Kjærgård Pedersen.