talsystemer

Talsystemer, systemer til repræsentation af alle naturlige tal (dvs. positive hele tal), evt. kun op til en vis størrelse, ud fra nogle få taltegn (cifre).

Nu til dags bruges et positionstalsystem med grundtal ti, det såkaldte titalssystem, decimalsystemet eller det dekadiske talsystem: Det har ti cifre svarende til tallene fra 1 til 9 samt 0, men deres betydning i en talbetegnelse afhænger af positionen, fx står 340 for 3∙10² + 4∙10⁽¹⁾ + 0∙10⁰, dvs. 3 hundreder, 4 tiere og 0 enere. Systemet opstod i Indien omkring 500; et nultegn er dog først påvist hen imod 700 i Cambodja. Systemet nåede Europa gennem araberne ca. 1120 ved oversættelse til latin af al-Khwarizmis bog fra ca. 820 om regning med "indernes tal", men først i 1500-t. fortrængte det romertal og regnebræt.

Efter 2. Verdenskrig har positionstalsystemet med grundtal 2 (binære tal eller cifre, 0 og 1) fundet udbredt anvendelse ved de interne regninger i digitale computere.

I it benyttes foruden det binære talsystem også det oktale og heksadecimale (baseret på grundtallene 8=2³ og 16=2⁴); sidstnævntes cifre for 10 til 15 betegnes A til F.

Det ældste kendte positionstalsystem optræder på babyloniske kileskriftstavler omkring 1800 f.Kr. Dette system, det seksagesimale, har grundtal 60. Da der ikke er noget nultegn, kan tegnet for 1 også betyde 60 eller 60² = 3600 osv.; det må ses af sammenhængen. Tegnet blev tillige brugt for 60^-1 = ¹/₆₀ osv., således at systemet omfattede seksagesimalbrøker svarende til vore decimalbrøker. Det overlever stadig i inddelingen af timer i minutter og sekunder.

Kineserne havde, måske fra omkring 200 f.Kr., et positionstalsystem med grundtal 100. Mayaerne brugte i kalendersammenhæng, måske fra omkring 400, et positionstalsystem med nultegn og trin på 20 og 18.

Grækernes og romernes repræsentation af tal ved brikker i forskellige søjler på et regnebræt (se abacus) er reelt en omsætning til titalssystemet. Se også quipu.

I de fleste tidlige talsystemer havde taltegnene faste værdier, som det kendes fra romertal. I additive systemer står en samling taltegn simpelthen for summen af værdierne. Det er fx tilfældet i egyptiske hieroglyfindskrifter tilbage til omkring 3000 f.Kr. såvel som for de oprindelige brahmicifre i Indien fra 200-t. f.Kr. og for alfabetiske systemer som grækernes i hellenistisk tid. Evt. suppleres med regler om subtraktion som i romertal, hvor VI nok står for 5+1 = 6, men IV for 5−1 = 4. Regler om multiplikation kendes også, hvor fx en vis kombination af tegn for 3 og 100 kan stå for 300.

Vort system af talord er additivt og multiplikativt med navnene på 1, ..., 9, 10, 11, 12, ..., 19, 20, 30, 40, ..., 90, 100, 1000, 10⁶, 10⁹, 10¹², ... som byggesten. Bruddet i navngivningen efter 12 er spor af et tolvtalssystem; de følgende navne rummer spor af ti, fra 50 dog på dansk af tyve (halvtreds = halvtredsindstyve = 2¹/₂∙20). Ved udregninger omsætter vi til titalssystemet, når vi skriver cifre ned.

Det vigesimale talsystem, der har grundtal 20, er der spor af i større eller mindre udstrækning på en del sprog, bl.a. i franske talord, hvor fx 87 hedder quatre-vingt-sept (= 4∙20+7).

Tolvtalssystemet, duodecimalsystemet, har historisk interesse ifm. gamle danske enheder for mål og vægt; se dodekadik og metrologi. Også hvad angår mønt er dette system brugt, idet der gik 12 pence på en shilling i Storbritannien, før landet gik over til et decimalt møntsystem i 1971.