En trestangskurve er i matematik enhver kurve i planen, der kan konstrueres på følgende måde: Tre stænger sættes sammen med to hængsler, og de to frie endepunkter holdes fast i to punkter \(P\) og \(Q\). Når de yderste stænger drejes om de faste punkter \(P\) og \(Q\), vil ethvert givet punkt på den midterste stang bevæge sig langs en trestangskurve. Hængslede systemer med flere stænger eller figurer indgår i vigtige mekaniske konstruktioner og mekanismer og giver på tilsvarende vis anledning til interessante geometriske kurver som trestangskurver.
trestangskurve
Det røde midtpunkt på den midterste stang bevæger sig langs den røde trestangskurve, når de tre hængslede stænger bevæges om de to faste punkter \(P\) og \(Q\) markeret med sort. I det viste tilfælde er afstanden \(|PQ|=2a\) og \(r=\sqrt{2}\ a\) og kurven er dermed den såkaldte lemniskat introduceret af Jakob Bernoulli.
Særlige trestangskurver
Figuren viser de tre typer af specielle trestangskurver omtalt i teksten.
- De grønne kurver er de to dråbeformede ovale kurver omkring \(P\) og \(Q\).
- Den røde kurve er lemniskaten.
- Den blå kurve er en Cassini oval.
I det specielle tilfælde af trestangskurver, hvor de to yderste stænger er lige lange med længden \(r\), den midterste stang har længden \(2a\), og afstanden mellem \(P\) og \(Q\) er \(2a\), da bevæger midtpunktet på den midterste stang sig langs en kurve, der i retvinklede \((x,y)\)-koordinater har ligningen \[(x^2+y^2)^2= r^2x^2+(r^2-4a^2)y^2 .\]
I koordinatsystemet følger \(x\)-aksen linjen gennem \(P\) og \(Q\), og \(y\)-aksen følger midtnormalen til linjestykket \(PQ\).
Kurvetypen afhænger af størrelsesforholdet mellem \(r\) og \(2a\).
- Hvis \(0<r< \sqrt{2}\ a\) fås to dråbeformede, ovale kurver, en omkring hver af de faste punkter \(P\) og \(Q\).
- Hvis \(r=\sqrt{2}\ a\) fås en ottetals lignende kurve kendt som lemniskaten, der blev introduceret af den schweiziske matematiker Jakob Bernoulli i 1694.
- Hvis \(r > \sqrt{2}\ a\) fås en lukket kurve, der omslutter de to faste punkter \(P\) og \(Q\). Skaren af disse kurver kendes som de såkaldte Cassini ovaler, der blev beskrevet i 1680 af den italiensk-franske astronom Giovanni Domenico Cassini.
Hængslede stangsystemers anvendelse
Tegningen viser flere eksempler på en rotationsbevægelse der ved hjælp af en mekanisme med hængslede stænger omsættes til en retlinet bevægelse.
Kurver frembragt ved bevægelse af hængslede stangsystemer finder anvendelse i mange vigtige mekaniske konstruktioner og mekanismer, hvor en bevægelsesform skal ændres. Eksempelvis når en rotationsbevægelse skal omsættes til en retlinet bevægelse eller omvendt.
En berømt anvendelse af en mekanisme konstrueret fra et hængslet stangsystem finder man i den dampmaskine, som blev patenteret i 1769 af opfinderen James Watt. Mekanismen kom hurtigt i anvendelse blandt andet i forbindelse med damplokomotiver i tilknytning til drivhjulene i lokomotiverne.
Læs mere i Den Store Danske
Hængslede stangsystemer i drivhjulene for et damplokomotiv, hvorved en retlinet bevægelse omsættes til en rotationsbevægelse.
Kommentarer
Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.
Du skal være logget ind for at kommentere.