analytisk geometri

I sit arbejde kritiserede Descartes den indfaldsvinkel til geometri, som er beskrevet i Euklids Elementer fra omkring 300 f.v.t. og i Apollonios' arbejde om keglesnit fra omkring 200 f.v.t. Efter Descartes' opfattelse var den euklidiske geometri alt for abstrakt og for nært knyttet til figurbetragtninger; de enkelte resultater krævede ofte nye idéer og opfindsomhed. Descartes ønskede en ny indfaldsvinkel og en ny metode. I modsætning hertil følte Fermat sig i tråd med græsk tankegang, og han anså sit arbejde om koordinatgeometri som blot en omformulering af Apollonios' arbejde.

Den grundlæggende idé i analytisk geometri er indførelse af et koordinatsystem, der i den euklidiske plan består af to på hinanden vinkelrette, orienterede linjer – koordinatsystemets akser – og deres skæringspunkt origo. Ethvert punkt \(P\) i planen kan herefter fastlægges entydigt ud fra dets koordinatsæt \((x,y)\). Anvendelse af Pythagoras' sætning viser, at den euklidiske afstand mellem punkterne beskrevet ved koordinatsættene \( P=(x_0, y_0) \) og \( Q=(x,y) \) er givet ved \( \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} \).

I rummet kan man på tilsvarende måde indføre et koordinatsystem med tre koordinater \( x,y, \) og \(z\) svarende til længde, bredde og højde; generelt kan man indføre det \(n\)-dimensionale talrum som rummet, hvis punkter er ordnede talsæt af \(n\) reelle tal \( (x_1, x_2, ..., x_n) \). I det følgende beskrives den euklidiske plan.

Når et koordinatsystem er valgt, kan man beskrive geometriske objekter ved ligninger \(f(x,y) = 0\), hvor \(f(x,y)\) er en funktion i to variable. En linje i planen beskrives således ved ligningen \(ax+by+c=0\), hvor \(a\), \(b\) og \(c\) er konstanter, der fastlægger linjens skæring med akserne. En cirkel med centrum i koordinatsættet \( (x_0, y_0) \) og radius \(r\) er beskrevet ved ligningen \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2 = r^2\).

En generel andengradsligning i to variable \(ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0\), hvor \(a,b,c,d,e,\) og \(f\) er vilkårlige konstanter, beskriver et keglesnit, som evt. kan degenerere til et punkt, en linje eller to linjer. En berømt kurve, kendt under navnet Descartes' blad, er beskrevet ved ligningen \(x^3+y^3-3axy=0\). Idet Descartes ville bruge graden af ligningen for en kurve som et mål for dens kompleksitet, betragtede han denne kurve som mere simpel end kurven med ligningen \(y=x^4\). Mængden af skæringspunkter mellem to geometriske figurer beskrevet ved ligninger fastlægges ved at løse ligningerne, hvilket som regel er en forholdsvis nem opgave.

Ved analytisk geometri i rummet undersøger man geometriske objekter, beskrevet ved ligninger \( f(x,y,z) = 0\), givet ved funktioner \(f(x,y,z)\) i tre variable, og tilsvarende i de højeredimensionale talrum.

Væsentlige bidrag til udvikling af analytisk geometri som en selvstændig gren af matematikken blev i 1700-tallet givet af L. Euler, J.L. Lagrange og G. Monge i forbindelse med arbejder om geometrien af kurver og flader.

Analytisk geometri spiller med rette en stor rolle i matematikundervisning på gymnasialt niveau. Videregående studier af geometriske objekter beskrevet ved ligninger finder sted i algebraisk geometri.

• geometri