polyeder

Polyeder. De fem regulære polyedre. Tetraederet har 4 sideflader, 4 hjørner og 6 kanter. Heksaederet har 6 sideflader, 8 hjørner og 12 kanter. Oktaederet har 8 sideflader, 6 hjørner og 12 kanter. Dodekaederet har 12 sideflader, 20 hjørner og 30 kanter. Ikosaederet har 20 sideflader, 12 hjørner og 30 kanter.

.

Artikelstart

Polyeder, lukket geometrisk figur sammensat af et antal polygonale flader, som udgør overfladen på et legeme i rummet. Også dette legeme kaldes et polyeder. De afgrænsende polygonale flader udgør polyederets sideflader og indeholder polyederets hjørner og kanter. Polyederet er konvekst, hvis forbindelseslinjen mellem ethvert par af hjørner forløber helt i polyederet. Rumfanget af et polyeder bestemmes ved at inddele det i pyramider.

Faktaboks

Etymologi
Ordet polyeder kommer af poly- og græsk hedra 'flade'.

Et konvekst polyeder besidder en overraskende kombinatorisk egenskab, idet der mellem antallet af hjørner h, antallet af kanter k og antallet af sideflader f gælder, at hk+f = 2. Denne relation kendes som Eulers polyedersætning, idet Euler gav et bevis for sætningen i 1750. Relationen var dog formodentlig kendt allerede af Archimedes i 200-t. f.Kr.

Regulære polyedre

Hvis polyederet er bygget op af ligedannede regulære polygoner, og der i hvert hjørne mødes lige mange sideflader, kaldes det et regulært polyeder. Hjørnerne i et regulært polyeder ligger på en omskreven kugleflade, og der findes en indskreven kugleflade, som tangerer alle sideflader.

Pythagoræerne i 500-t. f.Kr. vidste, at der kun var fem regulære polyedre, nemlig tetraederet, heksaederet (terningen), oktaederet, dodekaederet og ikosaederet med hhv. 4, 6, 8, 12 og 20 sideflader. Et bevis for, at der kun findes fem regulære polyedre, kan baseres på Eulers polyedersætning.

Platon forbinder i dialogen Timaios tetraederet, oktaederet, heksaederet og ikosaederet med hhv. ild, luft, jord og vand, de fire grundelementer i græsk filosofi, mens han i dodekaederet ser et billede af selve verdensaltet. De regulære polyedre kaldes også de Platoniske legemer. Senere videnskabsmænd har ladet sig inspirere af den platoniske tradition. Således søgte Kepler i Mysterium Cosmographicum (1596) at forklare afstandene i planetsystemet ved hjælp af de fem regulære polyedre og deres ind- og omskrevne kugleflader.

Semiregulære polyedre

Polyedre, der er bygget op af flere slags ligedannede regulære polygoner, og hvis hjørner ligger på en omskreven kugleflade, kaldes semiregulære polyedre eller Archimediske legemer. Der er 13 forskellige sådanne polyedre, ti med to slags sideflader og tre med tre slags, som (ifølge Pappos) alle var kendt af Archimedes. Fem fremkommer ved at skære hjørnerne af de regulære polyedre. Ved afskæring af hjørnerne på et ikosaeder fremkommer et semiregulært polyeder med 12 regulære femkanter og 20 regulære sekskanter som sideflader. Polyederet har 60 hjørner og er kendt fra overfladen af en fodbold og fra kulstofmolekylet buckminsterfulleren.

Kommentarer (2)

skrev Jan Fugl

Dodekaederet kan optræde stående på den af sine 12 flader, hvorfra der fra hver af denne flades 5 kanter rejser sig 5 pentagoner som danner dodekaederets 'nederste' halvdel. Findes der en måde at regne sig frem til vinklen mellem disse fem pentagoner og et vandret plan?

skrev Jørgen Nørby Jensen

Tak for din kommentar.
Redaktionen har ikke tilstrækkelig faglig indsigt til at kunne besvare dit spørgsmål. Når vi får knyttet en fagansvarlig med den rette baggrund til fagområdet, vil vi lade vedkommende tage sig af dit spørgsmål.

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig