fraktal

Fraktal. Øverst fire trin i konstruktionen af den såkaldte von Kochs snefnugkurve. Det følgende trin konstrueres ved at erstatte hvert linjestykke i figuren med grundformen i formindsket udgave. Nederst en af de kendteste fraktaler, Mandelbrotmængden (med sort).

.

Artikelstart

Fraktal er en særlig type kompliceret geometrisk figur. Fraktaler er i modsætning til klassiske geometriske figurer stærkt sammenfoldede eller hullede. Ordet blev lanceret i 1975 af B.B. Mandelbrot, og det er velvalgt, fordi det ofte drejer sig om kurver, som ikke er glatte, men som ustandselig knækker. Fraktal-lignende strukturer forekommer ofte i naturen, fx blomkålshoveder, kystlinjer og skyer. Et eksempel kan være Norges kystlinje, som på et kort ses afbrudt af dybe fjorde. På et mere detaljeret kort kan en bestemt fjord ses afbrudt af flere mindre fjorde. Forstørrer man fortsat dele af det samme kort, vil man hver gang genfinde en vis lighed med den oprindelige struktur. Det er en væsentlig egenskab ved fraktaler, at en forstørrelse af et udsnit af figuren er lige så kompliceret som figuren i sin helhed.

Faktaboks

Etymologi
Ordet fraktal kommer af lat. fractus 'brudt', af frangere 'bryde, brække itu'.

Fraktal begrebets afgrænsning

I matematikken har man beskrevet disse fænomener siden slutningen af 1800-t. Eksempler er Osgoods kurve (1903) og von Kochs snefnug (1904). Disse kurver fremkommer ved, at man indbygger samme figur i mindre og mindre udgaver i den oprindelige; et linjestykke erstattes af en brudt linje med en bestemt facon. Den brudte linje består selv af linjestykker, som kan erstattes af brudte linjer i en reduceret udgave. Vælges den brudte linje heldigt, vil en gentagelse af denne proces (se iteration) give en kurve, som er uendelig lang og har den egenskab, at en forstørrelse af et udsnit bliver identisk med hele kurven. Denne selvligedannethed (autohomoteti) er så karakteristisk, at visse forfattere begrænser brugen af ordet fraktal til sådanne figurer; det var dog ikke Mandelbrots tanke. Iterationsmetoden er en væsentlig årsag til fraktalers popularitet, idet den er særdeles velegnet til udførelse på computer. Takket være computeres store regnehastighed har man været i stand til at undersøge mange fraktaler. Nogle, fx Mandelbrotmængden, er næsten selvligedannede på samme måde som de, der optræder i forbindelse med kaos (fx Julia-mængder og "figentræer").

Fraktalers kompleksitet

Det er problematisk at sammenligne to fraktalers længder; er Norges kystlinje længere end Englands, hvis de begge principielt er uendelig lange? Matematisk set drejer det sig om at få indført et mål, som fortæller, at Osgoods kurve snor sig mere end von Kochs snefnug, og at Norges kyst er mere brudt end Englands. Dette mål blev defineret af F. Hausdorff; inspireret af netop von Kochs og Osgoods kurver indførte han en generel dimension (1919), som ikke nødvendigvis er et helt tal. Det var denne ikke-hele dimension, Mandelbrot refererede til med ordet fraktal. Hausdorff definerede en fraktal som en geometrisk figur, hvis topologiske dimension er mindre end dens Hausdorff-dimension (eller fraktale dimension). Den topologiske dimension svarer til det intuitive dimensionsbegreb (et punkt har dimensionen 0, en linje dimensionen 1, en plan figur dimension 2 og en rumlig dimension 3). Hausdorff-dimensionen tager derimod udgangspunkt i den betragtning, at alle figurer har mål 0 i en højere dimension; et punkt har ingen længde, en linje intet areal, og en plan figur intet rumfang. Hausdorff-dimensionen er den nedre grænse for de dimensioner, der giver figuren mål 0. For mange figurer er de to dimensioner identiske, men det gælder altså ikke fraktaler.

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig