Mandelbrotmængden

Mandelbrotmængden er en matematisk struktur i den komplekse plan af betydning i teorien for dynamiske systemer og fraktaler. Mandelbrotmængden er knyttet til iteration af polynomier på formen \(z^2+c\).

Den består af de komplekse c-værdier, for hvilke den itererede følge af punkter \[0, c, c^2+c, (c^2+c)^2+c, \ldots \] ligger helt inden for eller på cirklen med centrum i 0 og radius 2. Det er derfor simpelt at generere computerbilleder af Mandelbrotmængden.

Randen af Mandelbrotmængden er en fraktal; den har Hausdorff-dimension 2, men topologisk dimension 1. Mandelbrotmængden kan desuden karakteriseres som mængden af de c-værdier, for hvilke den tilhørende Julia-mængde er sammenhængende.

Randen af Mandelbrotmængden er bifurkationsmængden for de iterative dynamiske systemer bestemt af z²+c, dvs. at dynamikken og Julia-mængden kun ændres kvalitativt, når c-værdien passerer randen. I mange familier af holomorfe funktioner genfinder man kopier af Mandelbrotmængden, specielt findes der kopier af den inden i den selv, i mere eller mindre deformeret form.