Mandelbrotmængden

Det er karakteristisk for mange fraktaler, at de indeholder delmængder, der ligner hele fraktalen. Her en detalje af Mandelbrotmængden, som viser en deformeret kopi af hele mængden inden i sig selv.

.

Øverst fire trin i konstruktionen af den såkaldte von Kochs snefnugkurve, der er en fraktal. Nederst en af de kendteste fraktaler, Mandelbrotmængden (med sort).

.

Artikelstart

Mandelbrotmængden er en matematisk struktur i den komplekse plan af betydning i teorien for dynamiske systemer og fraktaler. Mandelbrotmængden er knyttet til iteration af polynomier på formen \(z^2+c\).

Faktaboks

Etymologi

efter Benoît Mandelbrot

Den består af de komplekse c-værdier, for hvilke den itererede følge af punkter \[0, c, c^2+c, (c^2+c)^2+c, \ldots \] ligger helt inden for eller på cirklen med centrum i 0 og radius 2. Det er derfor simpelt at generere computerbilleder af Mandelbrotmængden.

Randen af Mandelbrotmængden er en fraktal; den har Hausdorff-dimension 2, men topologisk dimension 1. Mandelbrotmængden kan desuden karakteriseres som mængden af de c-værdier, for hvilke den tilhørende Julia-mængde er sammenhængende.

Randen af Mandelbrotmængden er bifurkationsmængden for de iterative dynamiske systemer bestemt af z2+c, dvs. at dynamikken og Julia-mængden kun ændres kvalitativt, når c-værdien passerer randen. I mange familier af holomorfe funktioner genfinder man kopier af Mandelbrotmængden, specielt findes der kopier af den inden i den selv, i mere eller mindre deformeret form.

Læs mere i Den Store Danske

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig