iteration (matematisk begreb)

Iteration betegner gentagen anvendelse af en funktion, der afbilder en mængde ind i sig selv. Funktionen \(f\) itereres ud fra en startværdi \(x_0\) ved at beregne følgen \(x_1 = f(x_0), x_2 = f(f(x_0)) = f(x_1), ..., x_{n+1} = f(x_n),...\)

Iteration benyttes bl.a. til approksimation af en funktions fikspunkter eller periodiske cykler. Et fikspunkt er et punkt \(x^*\), som \(f\) lader uændret, dvs. det opfylder \(x^* = f(x^*)\). En periodisk cyklus af fx længde \(2\) er to punkter \(a_1\) og \(a_2\), om hvilke det gælder, at \(f(a_1) = a_2\) og \f(a_2) = a_1\). Mange problemer, fx løsning af et system af differentialligninger, kan omformes, så de svarer til at bestemme et fikspunkt for en afbildning.

Afhængigt af startværdien og funktionen, der itereres, kan iterationen nærme sig enten et fikspunkt eller en periodisk cykel. Der er imidlertid endnu en mulighed: De itererede værdier kan udvise kaotisk opførsel og fx nærme sig en såkaldt strange attractor. Inden for studiet af iterative dynamiske systemer interesserer man sig bl.a. for, under hvilke omstændigheder disse forskellige muligheder optræder.