Hausdorff-dimension

Artikelstart

Hausdorff-dimension er en matematisk generalisering af dimensionsbegrebet til at omfatte ikke-heltallige værdier. Begrebet blev indført af Felix Hausdorff. Klassiske geometriske objekter har heltallig dimension, fx har en simpel kurve dimension 1 og en flade dimension 2. Imidlertid kan der konstrueres meget sammenfoldede eller hullede mængder (se fraktal), der med det sædvanlige dimensionsbegreb blot kunne siges at være uendelig lange eller uendelig tynde. Med Hausdorff-dimensionen kan man sammenligne to sådanne mængder, idet man nu kan sige, at den ene snor sig så meget mere end den anden, at den har en større dimension.

Den præcise definition tager udgangspunkt i det s-dimensionale Hausdorffmål, der generaliserer mål (længde, areal, volumen) til værdier af s, der ikke er hele tal. Punktmængden, der skal måles, overdækkes med så få kugler af radius \(\delta\) som muligt. Antallet af kugler, \(N_{\delta}\), gange en kugles normaliserede s-dimensionale mål, \(\delta^s\), definerer da i grænsen \(\delta\to 0\) mængdens s-dimensionale Hausdorff-mål: \[H_s=\lim_{\delta\to 0}\delta^s N_{\delta}.\] Hvis s er stor, er målet 0, og hvis s er lille, er målet \(\infty\). Det interessante er, at én og kun én værdi af s skiller vandene, så Hausdorff-målet er 0 for alle større værdier og \(\infty\) for alle mindre. Denne skillende værdi kaldes Hausdorff-dimensionen og er givet ved \[s=\lim_{\delta\to 0}\dfrac{\ln N_{\delta}}{\ln \tfrac{1}{\delta}}.\] Hausdorff-dimensionen er normalt vanskelig at beregne, men for selvligedannede (selvsimilære) mængder kan man finde simple udtryk. Mængdens mål i Hausdorff-dimensionen kan være enten 0 eller positivt. Mandelbrotmængdens rand, der har Hausdorff-dimension 2, formodes at have målet 0 i denne dimension.

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig