areal

Arealet af et rektangel defineres til at være produktet af sidelængderne. Med dette udgangspunkt følger så, at arealet af et parallelogram med højde h og grundlinje b er produktet h∙b. Dette fås ved at afskære en retvinklet trekant i den ene ende af parallelogrammet og tilføje den til den anden ende. Derved dannes et rektangel med sidelængderne h og b. En trekant med højde h og grundlinje b har arealet ¹/₂∙h∙b, idet to identiske trekanter kan sammensættes, så de danner et parallelogram med højde h og grundlinje b. Arealet af en vilkårlig polygon kan beregnes ved at opdele polygonen i trekanter og addere alle trekanternes arealer.

For klassen af polygoner defineres arealbegrebet altså entydigt ved følgende fire krav:

1. Arealet af en delmængde af planen er altid et ikke-negativt reelt tal.
2. Arealet af et rektangel er produktet af sidelængderne.
3. Arealer er additive: Hvis to delmængder U og V af planen ikke har noget fælles indre punkt, så er areal (U ∪ V) = areal (U) + areal (V).
4. Arealet bevares ved flytninger.

Arealet af en plan figur kan bestemmes ved polygon-approksimation. Metoden blev benyttet allerede af Archimedes, der bl.a. viste, at arealet af en cirkelskive med radius r er π∙r², og arealet af et parabelsegment med højde h og grundlinje b er ²/₃∙h∙b.

Mere generelt fås, at området mellem x-aksen og grafen for en positiv kontinuert funktion på et afsluttet, begrænset x-interval er Jordan-målelig, se Jordans kurvesætning. Arealet kan udregnes ved integration af den givne funktion over intervallet.

I målteorien udvides arealbegrebet til endnu større klasser af mængder end de her omtalte. Se fladeareal. I praksis kan arealet af et forelagt plant område hurtigt estimeres ved hjælp af et planimeter eller ved at skære området ud i pap og veje det.