målteori

.
Licens: Brukerspesifisert

Målteori, abstrakt matematisk teori, som bl.a. præciserer de intuitive begreber areal og massefordeling i begrebet mål. Ved et mål i en mængde X forstås en afbildning μ, der til visse delmængder E af X knytter et tal μ(E) — kaldet Es mål — på en sådan måde, at målet af en mængde opdelt i mindre dele er summen af delenes mål. C. Jordan betragtede kun opdelinger i endeligt mange dele, men E. Borel påpegede betydningen af at inddrage uendelige opdelinger. Siden midten af 1900-t. forlanger man, at et mål er defineret på en sigma-algebra, dvs. et ikke-tomt system S af delmængder af X med følgende egenskaber: 1) hvis en mængde tilhører S, gør dens komplementærmængde det også, og 2) tællelige foreningsmængder af mængder fra S ligger igen i S. Et mål er da en afbildning μ: S↷[0,∞] med egenskaberne μ(∅) = 0 og

,

når E er foreningsmængde af tælleligt mange parvis disjunkte mængder E1, E2,... fra S. Målets totale masseμ(X) kan være endelig eller uendelig.

Et vigtigt eksempel er X = Rn, S er systemet af Borel-mængder i Rn, og μ(E) er Es n-dimensionale Lebesguemål, altså længde, areal, volumen for hhv. n = 1,2,3.

I målteori studeres generelle egenskaber ved mål. Indførelsen af integralet med hensyn til et mål spiller en central rolle, se integralteori. Ved studiet af rum af integrable funktioner optræder begrebet μ-næsten overalt. At fx en målelig funktion er differentiabel μ-næsten overalt betyder, at mængden af punkter x, hvori den ikke er differentiabel, har mål nul. I problemstillinger i målteori er det ofte tilstrækkeligt, at egenskaber gælder μ-næsten overalt.

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig