vektoranalyse

.
Licens: Brukerspesifisert
.
Licens: Brukerspesifisert
.
Licens: Brukerspesifisert

Artikelstart

Vektoranalyse, den del af matematisk analyse, der handler om vektorfunktioner, dvs. funktioner, hvis værdier er vektorer. En n-dimensional vektorfunktion v: ARn kaldes også et vektorfelt på mængden A, idet man skal tænke på vektorfunktionens værdi v(x) som en vektor med udgangspunkt i punktet xA. Vektoranalysens vigtigste resultater omhandler samspillet mellem differentiation og integration af vektorfelter og generaliserer differential- og integralregningens hovedsætning om, at differentiation og integration er hinandens omvendte regneoperationer. Et vigtigt eksempel på et vektorfelt på en kugleflade kendes fra vejrkort, der viser vindretningen og dens styrke i udvalgte punkter af kortet.

Til et differentiabelt vektorfelt v = (v1,v2, ... ,vn) på en åben delmængde A af Rn knyttes en skalar funktion (dvs. en funktion, hvis værdier er tal) kaldet divergensen af v givet ved

Til en skalar funktion fA knyttes et vektorfelt kaldet gradienten af f givet ved

For n = 3 knyttes til et vektorfelt v = (v1,v2,v3) på en åben delmængde A af R3 et nyt vektorfelt kaldet rotationen af v givet ved

Divergenssætningen eller Gauss' sætning (efter C.F. Gauss) siger, at integralet af divergensen af et vektorfelt v over et begrænset område er lig med fladeintegralet over områdets overflade af vektorfeltets normalkomponent vn. Værdien af fladeintegralet kaldes også vektorfeltets strøm eller flux gennem fladen. Her er n fladens udadrettede normalvektor. En anden vigtig sætning i vektoranalysen er Stokes' sætning (efter G.G. Stokes), der forbinder fluxen af vektorfeltets rotation gennem et orienteret fladestykke med vektorfeltets cirkulation, dvs. kurveintegralet af vektorfeltets projektion på tangenten langs fladestykkets randkurve. Disse begreber spiller en stor rolle i bl.a. hydrodynamik og elektrodynamik.

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig