trigonometriske formler

Artikelstart

Trigonometriske formler er matematiske formler, der udtrykker identiteter mellem de forskellige trigonometriske funktioner dels med samme argument, dels med vekslende argument.

Et udvalg af vigtige trigonometriske formler

Den grundlæggende identitet er

  • \(\cos^2(x)+\sin^2(x)=1 .\)

Nogle elementære formler

  • \( 1+\tan^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)} \hspace{30pt} 1+\cot^2(x)=\frac{1}{\sin^2(x)} ,\)
  • \( \sin(-x) = -\sin(x) \hspace{35pt} \cos(-x) = \cos(x) , \)
  • \( \sin(\pi/2 – x) = \cos(x) \hspace{29pt} \cos(\pi/2 – x) = \sin(x) , \)
  • \( \sin(\pi-x) = \sin(x) \hspace{34pt} \cos (\pi – x) = -\cos(x) .\)

Additionsformlerne

Additionsformlerne er formler, hvor argumentet er en sum eller en differens af to argumenter:

  • \( \cos(x+y) = \cos(x) \cos(y) – \sin(x) \sin(y), \)
  • \( \cos(x-y) = \cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y), \)
  • \( \sin(x+y) = \sin(x) \cos(y) + \cos(x) \sin(y), \)
  • \( \sin(x-y) = \sin(x) \cos(y) – \cos(x) \sin(y). \)

De anvendes bl.a. til at finde eksakte værdier for sinus og cosinus til en vinkel udtrykt ved andre kendte værdier.

Med \(x=y\) i additionsformlerne får man

  • \( \cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x), \)
  • \( \sin(2x) = 2\sin(x) \cos(x), \)
  • \( \tan(2x) =\frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)} .\)

De logaritmiske formler

Ved addition hhv. subtraktion af additionsformlerne to og to kan de omformes til produktformlerne eller de logaritmiske formler (F. Viète, 1571):

  • \( \cos(u) + \cos(v) = 2 \cos(\frac{u+v}{2}) \cos(\frac{u-v}{2}) , \)
  • \( \sin(u) + \sin(v) = 2 \sin(\frac{u+v}{2}) \cos(\frac{u-v}{2}) , \)
  • \( \cos(u)-\cos(v)=-2 \sin(\frac{u+v}{2}) \sin(\frac{u-v}{2}) , \)
  • \( \sin(u) – \sin(v) = 2 \cos(\frac{u+v}{2}) \sin(\frac{u-v}{2}) . \)

Før lommeregnernes tid var de logaritmiske formler meget anvendt ved udregninger, idet produkter lader sig udregne ved hjælp af logaritmer.

De antilogaritmiske formler

De antilogaritmiske formler opnås ved at læse de logaritmiske formler fra højre mod venstre, hvorved man får produkter af trigonometriske formler udtrykt ved summer:

  • \( \cos(x) \cos(y) = \tfrac{1}{2} \cos(x+y) + \tfrac{1}{2} \cos(x-y) , \)
  • \( \sin(x) \cos(y) = \tfrac{1}{2} \sin(x+y) + \tfrac{1}{2} \sin(x-y) , \)
  • \( \sin(x) \sin(y) = -\tfrac{1}{2} \cos(x+y) + \tfrac{1}{2} \cos(x-y) , \)
  • \( \cos(x) \sin(y) = \tfrac{1}{2} \sin(x+y) – \tfrac{1}{2} \sin(x-y) . \)

Principperne i disse og i de logaritmiske formler ovenfor har spillet en rolle for opfindelsen af logaritmerne.

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig