polynomium

Polynomium, i matematik et udtryk, der er en sum af flere led, oftest led af formen axⁱ. Symbolet x kaldes den variable, tallet a kaldes leddets koefficient, og eksponenten i kaldes leddets grad. Idet leddene ordnes efter grad, får det almindelige polynomium formen f(x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+ ∙∙∙ +a₁x+a₀.

Nulpolynomiet er det polynomium, hvis koefficienter alle er nul. For alle andre polynomier defineres graden som den største grad af leddene a_ixⁱ med a_i ≠ 0.

Et polynomium f(x) bestemmer en funktion og løsningerne til ligningen f(x) = 0 (se algebraisk ligning) siges at være polynomiets rødder eller nulpunkter (i x). Fx har polynomiet f(x) = x³−2x²−x+2 grad 3 og rødderne x = −1, 1 og 2. I almindelighed er antallet af rødder højst lig med polynomiets grad. Alle reelle polynomier af ulige grad har en reel rod; algebraens fundamentalsætning udsiger, at ethvert polynomium af positiv grad har en rod blandt de komplekse tal.

Et polynomium f(x) har tallet t som rod, hvis og kun hvis der findes en fremstilling af f(x) som et produkt, f(x) = (x−t)∙g(x), hvor den ene faktor er førstegradspolynomiet x−t. Når f(x) har grad n ≥ 1, følger det af algebraens fundamentalsætning, at der findes en fremstilling f(x) = a(x−t₁) ∙∙∙ (x−t_n), hvor t₁,... ,t_n er de komplekse rødder i f(x). Hvis en faktor x−t_i hér forekommer mindst to gange, siges t_i at være multipel rod i f(x).