polynomium

Polynomium, i matematik et udtryk, der er en sum af flere led, oftest led af formen axi. Symbolet x kaldes den variable, tallet a kaldes leddets koefficient, og eksponenten i kaldes leddets grad. Idet leddene ordnes efter grad, får det almindelige polynomium formen f(x) = anxn+an-1xn-1+ ∙∙∙ +a1x+a0.

Faktaboks

Etymologi
Ordet polynomium er latin, af poly- og afledn. af latin nomen i betydningen 'led, term'; undertiden sat i forbindelse med gr. nome 'fordeling'.

Nulpolynomiet er det polynomium, hvis koefficienter alle er nul. For alle andre polynomier defineres graden som den største grad af leddene aixi med ai ≠ 0.

Et polynomium f(x) bestemmer en funktion og løsningerne til ligningen f(x) = 0 (se algebraisk ligning) siges at være polynomiets rødder eller nulpunkter (i x). Fx har polynomiet f(x) = x3−2x2x+2 grad 3 og rødderne x = −1, 1 og 2. I almindelighed er antallet af rødder højst lig med polynomiets grad. Alle reelle polynomier af ulige grad har en reel rod; algebraens fundamentalsætning udsiger, at ethvert polynomium af positiv grad har en rod blandt de komplekse tal.

Et polynomium f(x) har tallet t som rod, hvis og kun hvis der findes en fremstilling af f(x) som et produkt, f(x) = (xt)∙g(x), hvor den ene faktor er førstegradspolynomiet xt. Når f(x) har grad n ≥ 1, følger det af algebraens fundamentalsætning, at der findes en fremstilling f(x) = a(xt1) ∙∙∙ (xtn), hvor t1,... ,tn er de komplekse rødder i f(x). Hvis en faktor xti hér forekommer mindst to gange, siges ti at være multipel rod i f(x).

Polynomiumsringe

Addition og multiplikation af to polynomier fører igen til polynomier, og samtlige polynomier (i én variabel) med reelle koefficienter udgør en ring, oftest betegnet R[x]. Tilsvarende udgør de komplekse polynomier en ring, betegnet C[x].

Flere variable

I et polynomium kan indgå mere end én variabel. Et polynomium i tre variable x,y,z er således et udtryk, der er en sum af led af formen axiyjzk. Summen i+j+k kaldes leddets grad. Polynomiets grad er den højeste grad for noget led, der indgår i dette. Således er x2+y2+z2−1 et polynomium af grad 2; dets nulpunkter udgør en kugleflade, i dette tilfælde for enhedskuglen, dvs. kuglen med centrum i (x,y,z) = (0,0,0) og radius 1.

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig