Polynomium, i matematik et udtryk, der er en sum af flere led, oftest led af formen \(ax^i\). Symbolet \(x\) kaldes den variable, tallet \(a\) kaldes leddets koefficient, og eksponenten \(i\) kaldes leddets grad. Idet leddene ordnes efter grad, får det almindelige polynomium formen \(f(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \dots +a_1x+a\).
Faktaboks
- Etymologi
- Ordet polynomium er latin, af poly- og afledn. af latin nomen i betydningen 'led, term'; undertiden sat i forbindelse med gr. nome 'fordeling'.
Nulpolynomiet er det polynomium, hvis koefficienter alle er nul. For alle andre polynomier defineres graden som den største grad af leddene \(a_ix^i\) med \(a_i\neq 0\).
Et polynomium \(f(x)\) bestemmer en funktion og løsningerne til ligningen \(f(x) = 0\) (se algebraisk ligning) siges at være polynomiets rødder eller nulpunkter (i \(x\)). Fx har polynomiet \(f(x) = x^3−2x^2−x+2\) grad \(3\) og rødderne \(x = −1, 1\) og \(2\). I almindelighed er antallet af rødder højst lig med polynomiets grad. Alle reelle polynomier af ulige grad har en reel rod; algebraens fundamentalsætning udsiger, at ethvert polynomium af positiv grad har en rod blandt de komplekse tal.
Et polynomium \(f(x)\) har tallet \(t\) som rod, hvis og kun hvis der findes en fremstilling af \(f(x)\) som et produkt, \(f(x) = (x−t)\cdot g(x)\), hvor den ene faktor er førstegradspolynomiet \(x−t\). Når \(f(x)\) har grad \(n \geq 1\), følger det af algebraens fundamentalsætning, at der findes en fremstilling \(f(x) = a(x−t_1) \dots (x−t_n)\), hvor \(t_1,... ,t_n\) er de komplekse rødder i \(f(x)\). Hvis en faktor \(x−t_i\) hér forekommer mindst to gange, siges \(t_i\) at være multipel rod i \(f(x)\).
Kommentarer
Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.
Du skal være logget ind for at kommentere.