Billardkugler. Foto fra 2010. Af Håkan Dahlström.

kugle

En kugle er i matematik et legeme i rummet afgrænset af en kugleflade bestående af mængden af punkter i rummet med samme afstand \(r\) fra et fast punkt \(O\). Afstanden \(r\) og punktet \(O\) kaldes henholdsvis radius og centrum for kuglen og kuglefladen. En storcirkel på kuglen er skæringskurven mellem kuglefladen og en plan, der går gennem \(O\).

I et koordinatsystem i rummet med \(O\) som begyndelsespunkt har kuglefladen ligningen \[x^2+y^2+z^2=r^2,\] og kuglens indre punkter \( (x, y, z) \) tilfredsstiller \[x^2+y^2+z^2 < r^2.\]

For \(r=1\) taler man om enhedskuglen. De to diametralt modsatte punkter \((0,0,1)\) og \((0,0,−1)\) på enhedskuglen kaldes henholdsvis nordpol og sydpol. Den storcirkel, der er skæringskurve med planen med ligningen \(z=0\), kaldes ækvator. En parameterfremstilling af enhedskuglefladen er givet ved \[(x, y, z)=(\sin(u)\cos(v), \sin(u)\sin(v), \cos(u)),\] hvor \(0\le u\le \pi\) og \(0\le v < 2\pi\). Her kan \((u, v)\) tolkes som sfæriske koordinater på kuglefladen (se koordinatsystem).

Kugleafsnit og kuglekalot

En plan, der skærer kuglen, deler denne i to kugleafsnit, hvis krumme overflader kaldes kuglekalotter, og som har fælles grundcirkel.

Ved højden \(h\) for et afsnit, henholdsvis en kalot forstås den største afstand mellem skæringsplanen og et punkt på kalotten.

For rumfanget \(V\) af et kugleafsnit og overfladeareal \(A\) af den tilsvarende kalot gælder \[V=\frac{1}{3}\pi h^2(3r-h)\quad \text{og}\quad A=2\pi rh .\]

Kugleskive og kuglebælte

Når man skærer kuglen med to parallelle planer med afstanden \(h\), fremkommer en kugleskive, begrænset af to cirkler.

Kugleskivens krumme overflade kaldes et kuglebælte.

Bæltets areal er \[A=2\pi rh .\] Hvis radierne i de nævnte cirkler er \(r_1\) og \(r_2\), så er skivens rumfang \[V=\frac{1}{6}\pi h(3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2).\]

Kugleudsnit

Et kugleudsnit fremkommer som legemet begrænset af en kalot og den kegleflade, der har toppunkt i centrum og ledecirkel fælles med kalotten. Er kalottens højde \(h<r\) og ledecirklens radius \(r_1\), så er udsnittets rumfang \[ V = \frac{2}{3}\pi r^2h,\] og arealet af dets krumme overflade \[A=\pi r(2h+r_1) .\] Betragter man som et grænsetilfælde et kugleudsnit, henholdsvis en kuglekalot med højde \(2r\), så finder man, at kuglens rumfang \(V\) og kuglefladens areal \(A\)er givet ved henholdsvis \[V=\frac{4}{3}\pi r^3\quad \text{og}\quad A=4\pi r^2.\]

Differentialgeometriske egenskaber

Kuglen og kuglefladen er blandt de mest undersøgte objekter i geometrien, specielt med metoder fra differentialgeometri i forbindelse med krumningsegenskaber.

Fx gælder der, at på en kugleflade er både den gaussiske krumning K og middelkrumningen H konstante på fladen. Omvendt gælder der, at hvis K er konstant på en lukket flade, eller hvis H er konstant på en konveks lukket flade, da vil fladen også være en kugleflade. Desuden er kuglefladen den flade, der for et givet overfladeareal indeslutter det største volumen, jf. isoperimetriske problemer.

Læs mere i Den Store Danske

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

Fagansvarlig for Elementær rumgeometri og projektionstegning

Vagn Lundsgaard Hansen

Professor i matematik, Danmarks Tekniske Universitet