En integralligning er en funktionalligning, hvori den ubekendte funktion optræder under et integraltegn. Især lineære integralligninger, hvori den ubekendte funktion kun indgår i første potens, har mange anvendelser inden for fx randværdiproblemer i fysikken.

Lineære integralligninger inddeles i to typer: integralligninger af første slags: \[\int^b_a K(x,y)\phi(y)dy = f(x)\] og af anden slags: \[\phi(x)-\lambda \int^b_a K(x,y)\phi(y)dy=f(x),\] hvor \(\phi\) er den ubekendte funktion, \(K\) og \(f\) er passende pæne, givne funktioner, og \(\lambda\) er en parameter. Funktionen \(K\) kaldes integralligningens kerne.

Inversionsformlerne til Fourier- og Laplacetransformationerne kan opfattes som løsningsformler til integralligninger. Andre specielle integralligninger blev studeret af N.H. Abel i 1820'erne og J. Liouville i 1832-1846. Den første generelle teori for integralligninger blev imidlertid først udviklet i 1895-1897 af V. Volterra. Han løste de lineære integralligninger af første og anden slags, dog med integrationsgrænserne \(a\) og \(x\). Volterra bemærkede, at sådanne integralligninger kan opfattes som et grænsetilfælde af algebraiske ligningssystemer af formen \[\sum^i_{j=1} a_{ij}x_j = b_i.\]

Inspireret af denne analogi indførte I. Fredholm (1866-1927) i 1900 en determinant, \(D(\lambda)\), hørende til ligningen af anden slags og viste, at hvis \(D(\lambda) \neq 0\), har ligningen præcis én løsning. Hvis derimod \(D(\lambda) = 0\), har den tilhørende homogene ligning (hvor \(f(x)= 0\)) en løsning forskellig fra nul-løsningen. Man siger da, at \(1/\lambda\) er en egenværdi. I 1904-1910 videreførte D. Hilbert disse undersøgelser og viste bl.a., at hvis kernen er symmetrisk, dvs. \(K(x,y) = K(y,x)\), er der højst tælleligt mange egenværdier, og disse er reelle. Den svenske matematiker T. Carleman (1892-1949) gav en dybtgående analyse af integralligninger i 1923. Hans resultater fandt en mere generel og blivende form i J. von Neumanns teori for ubegrænsede operatorer på Hilbertrum. Funktionalanalysen udsprang i høj grad af teorien for integralligninger og generaliserer mange af dens resultater.

For de såkaldt singulære og ikke-lineære integralligninger findes ikke systematiske resultater i samme grad, men i 1900-t. er der udviklet særlige metoder til at behandle dem.

Kommentarer

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig