Asteroide givet ved parameterfremstillingen:

\( x=a\cdot\cos^3(t), y=a\cdot\sin^3(t), 0 \leq t < 2\pi \)

En asteroide er en cyklisk kurve, der beskrives af et punkt på en cirkel, som ruller inden i en anden cirkel med fire gange så stor radius.

Faktaboks

Etymologi

Ordet asteroide kommer af græsk aster 'stjerne' og -oides, af eidos 'form'.

Hvis radius i den store cirkel er \(a\) har asteroiden:

  • \(\text{parameterfremstilling:}\hspace{3pt} r(t) = (a\cdot \cos^{3}(t),a\cdot \sin^{3}(t))\), hvor \( 0<t\le2\pi, \)
  • \(\text{ligning:}\hspace{3pt} x^{2/3} + y^{2/3}=a^{2/3}, \)
  • \(\text{omkreds:}\hspace{3pt} 6a , \)
  • \(\text{areal:}\hspace{3pt} \tfrac{3}{8}\pi a^2 . \)

Læs mere i Den Store Danske

Kommentarer (2)

skrev Hans Bendix Pedersen

Ja, undskyld jeg blander mig igen. Men når jeg ser sådan en figur, får jeg altid lyst til vide noget om arealerne af figurerne i forhold til den faste cirkel med radius a. Men jeg er godt klar over, at det ikke er bare lige at integrere sig til resultatet af f.eks. asteroiden. Eller en af de fire "linser" der fremkommer af asteroidens afskæring af cirklen. Men med en god tilnærmelse kan asteroiden beregnes til 3/8*pi*a^2 og de enkelte "Linser" til 5/32*pi*a^2. Det falder nok lidt udenfor "Den Store Danske" og er bare en kommentar.
Mvh
Hbendixp

svarede Vagn Lundsgaard Hansen

Kære Hans Bendix
Astroidens areal er præcist : 3/8*pi*a^2
Så bliver arealet af en "linse" præcist: 1/4*pi*a^2 -3/32*pi*a^2 = 5/32*pi*a^2.
De værdier du angiver for hvert af de søgte arealer er altså rigtige, og det er de nøjagtige størrelser.
Mvh
Vagn Lundsgaard

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig