Sturm-Liouville-teori

Sturm-Liouville-teori er en matematisk teori for egenfunktionerne til en klasse af andenordens differentialoperatorer (jf. differentialligning og operator), bl.a. af formen\[L = -\frac{d}{dx}\left(p\frac{d}{dx}\right)+q,\] hvor \(p\), \(q\) er positive funktioner på et interval \(I\). Hvis man forlanger, at egenfunktionerne skal have givne randværdier (dvs. givne værdier i \(I\)'s endepunkter), findes der under passende forudsætninger en følge \((\lambda_n)\) af egenværdier med tilhørende egenfunktioner \(\phi_n\), som udgør et fuldstændigt ortonormalt system (se Hilbertrum). Teorien for Fourierrækker og de klassiske ortogonale polynomier kan behandles ved Sturms (1803-1855) og Liouvilles metoder.

I eksemplet \(L=-\frac{d^2}{dx^2}\) med \(I=[0,\pi]\) gælder \(Ly = c^2y\) for \(y = \sin (cx)\), men randbetingelsen \(y(0) = y(\pi) = 0\) er kun opfyldt, når \(c\) er et helt tal; dermed er \(\lambda_n = n^2\).