ortogonale polynomier

.
Licens: Brukerspesifisert
.
Licens: Brukerspesifisert
.
Licens: Brukerspesifisert
.
Licens: Brukerspesifisert
.
Licens: Brukerspesifisert

Ortogonale polynomier, klasse af polynomier, som spiller en vigtig rolle i approksimationsteori og numerisk analyse. En følge af polynomier p0,p1, ... , hvor pn har grad n, kaldes ortogonale på intervallet I = ]a,b[ med hensyn til w, hvis

Funktionen w kaldes vægtfunktionen, og den forudsættes positiv på intervallet I. Ved fastsættelsen

defineres et skalarprodukt i Hilbertrummet af reelle, kvadratisk integrable funktioner med hensyn til w. De ortogonale polynomier udgør et ortogonalt system i dette Hilbertrum, og pn har normen. Systemet kaldes normeret, hvis kn = 1 for alle n. Ved at erstatte pn med pn/ opnås et normeret system. Til en given vægtfunktion findes et normeret system af ortogonale polynomier, som er entydigt på nær fortegn.

Betydningen af ortogonale polynomier består i, at man kan approksimere en funktion f på intervallet I ved et endeligt antal led i rækken

De første ortogonale polynomier, Legendre-polynomierne, blev studeret af A.M. Legendre i 1782 og har forbindelse til kuglefunktioner. De er ortogonale på intervallet I = ]−1,1[ med w(x) = 1 og kn = 2/(2n+1). De klassiske ortogonale polynomier hører til intervallerne ]−∞,∞[, ]0,∞[ og ]−1,1[ og er opkaldt efter henholdsvis C. Hermite, E.N. Laguerre og C.G. Jacobi. Disse polynomier er desuden løsninger til en differentialligning af anden orden af Sturm-Liouville-type. Legendre- og Tjebysjov-polynomierne er specielle Jacobi-polynomier.

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig