vektorrum

Artikelstart

Vektorrum, matematisk struktur, der formaliserer begrebet vektor, idet man hæfter sig ved, at vektorer kan adderes og multipliceres med tal. Således er mængden Rn af n-tupler (x1, ... ,xn) af reelle tal et vektorrum ved additionen (x1, ... ,xn)+ (y1, ... ,yn) = (x1+y1, ... ,xn+yn) og skalarmultiplikationen r(x1, ... ,xn) = (rx1, ... ,rxn). Mængden af reelle funktioner på et interval I er også et vektorrum, da man kan addere funktioner og gange dem med et reelt tal.

Formelt består et vektorrum af en abelsk gruppe V, hvis elementer kaldes vektorer, og et legeme L, hvis elementer kaldes skalarer. Desuden skal det være muligt at multiplicere skalarer r og vektorer v, så facit rv bliver en vektor, og visse simple regneregler skal være opfyldt. Regneoperationen i V betegnes +, og det neutrale element kaldes nulvektoren og betegnes 0.

I vigtige tilfælde er L de reelle hhv. komplekse tals legeme, og man taler så om reelle hhv. komplekse vektorrum. Teorien for vektorrum over endelige legemer anvendes bl.a. i kodningsteori, der har betydning for datatransmission.

For v1, ... ,vnV og r1, ... ,rnL kaldes r1v1+∙∙∙+rnvn en linearkombination. Vektorerne v1, ... ,vn siges at være lineært uafhængige, hvis en linearkombination kun bliver nulvektoren, når r1 = ∙∙∙ = rn = 0. I modsat fald kaldes de lineært afhængige. Hvis enhver vektor i V er en linearkombination af de lineært uafhængige vektorer v1,...,vn, så siges disse at være en basis for V, og man siger, at rummet V har dimension n. Talrummet Rn har dimension n, og e1,...,en er en basis, idet ei består af lutter nuller på nær et ettal på den i'te plads. Hvis det ikke er muligt at finde en basis med et endeligt antal elementer, siges vektorrummet at have uendelig dimension. Begrebet basis kan udvides til sådanne vektorrum. Fx er mængden af polynomier et vektorrum af uendelig dimension, og potenserne 1,x,x2, ... er en basis. Beviset for, at ethvert vektorrum af uendelig dimension har en basis, bygger på udvalgsaksiomet.

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig