vektorrum

Vektorrum er en matematisk struktur, der formaliserer begrebet vektor, idet man hæfter sig ved, at vektorer kan adderes og multipliceres med tal. Således er mængden \(\mathbb{R}^n\) af \(n\)-tupler \((x_1,...,x_n)\) af reelle tal et vektorrum ved additionen \((x_1,...,x_n)+(y_1,...,y_n) = (x_1+y_1,...,x_n+y_n)\) og skalarmultiplikationen \(r(x_1,...,x_n) = (rx_1,...,rx_n)\). Mængden af reelle funktioner på et interval \(I\) er også et vektorrum, da man kan addere funktioner og gange dem med et reelt tal.

Formelt består et vektorrum af en abelsk gruppe \(V\), hvis elementer kaldes vektorer, og et legeme \(L\), hvis elementer kaldes skalarer. Desuden skal det være muligt at multiplicere skalarer \(r\) og vektorer \(\boldsymbol{v}\), så facit \(r\boldsymbol{v}\) bliver en vektor, og visse simple regneregler skal være opfyldt. Regneoperationen i \(V\) betegnes \(+\), og det neutrale element kaldes nulvektoren og betegnes \(\boldsymbol{0}\).

I vigtige tilfælde er \(L\) de reelle hhv. komplekse tals legeme, og man taler så om reelle hhv. komplekse vektorrum. Teorien for vektorrum over endelige legemer anvendes bl.a. i kodningsteori, der har betydning for datatransmission.

For \(\boldsymbol{v}_1,...,\boldsymbol{v}_n \in V\) og \(r_1,...,r_n \in L\) kaldes \(r_1\boldsymbol{v}_1+\dots+r_n\boldsymbol{v}_n\) en linearkombination. Vektorerne \(\boldsymbol{v}_1,...,\boldsymbol{v}_n\) siges at være lineært uafhængige, hvis enhver linearkombination kun bliver nulvektoren, når \(r_1=\dots =r_n = 0\). I modsat fald kaldes de lineært afhængige. Hvis enhver vektor i \(V\) er en linearkombination af de lineært uafhængige vektorer \(\boldsymbol{v}_1,...,\boldsymbol{v}_n\), så siges disse at være en basis for \(V\), og man siger, at rummet \(V\) har dimension \(n\). Talrummet \(\mathbb{R}^n\) har dimension \(n\), og \(\boldsymbol{e}_1,...,\boldsymbol{e}_n\) er en basis, idet \(\boldsymbol{e}_i\) består af lutter nuller på nær et ettal på den \(i\)'te plads. Hvis det ikke er muligt at finde en basis med et endeligt antal elementer, siges vektorrummet at have uendelig dimension. Begrebet basis kan udvides til sådanne vektorrum. Fx er mængden af polynomier et vektorrum af uendelig dimension, og potenserne \(1,x,x^2,...\) er en basis. Beviset for, at ethvert vektorrum af uendelig dimension har en basis, bygger på udvalgsaksiomet.