vektorregning | lex.dk – Den Store Danske

Figur 1. Regneregler for krydsprodukt og skalarprodukt.

Ukendt.

Vektorregning kan med fordel anvendes til at bevise geometriske sætninger. At medianerne i en trekant skærer hinanden i samme punkt, som deler dem i forholdet 1:2, kan således vises ved at lade trekant ABCs vinkelspidser være bestemt ved vektorerne \(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}\). Punktet beliggende \(2/3\) ud ad medianen fra A er så fastlagt ved vektoren \(2/3 (1/2\boldsymbol{u}+1/2 \boldsymbol{v})\). De tilsvarende punkter ud ad medianerne fra B og C er bestemt ved \(\boldsymbol{u}+2/3(1/2 \boldsymbol{v}-\boldsymbol{u})\) og \(\boldsymbol{v}+2/3(1/2 \boldsymbol{u}-\boldsymbol{v})\). Ved brug af vektorregning ses alle tre vektorer at være lig med \(1/3(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})\), som derfor repræsenterer medianernes fælles skæringspunkt.

Ukendt.

Licens: Begrænset anvendelse

Vektorregning betegner en matematisk teori for regneoperationer for vektorer i planen eller i rummet (geometriske vektorer), men også mere generelt for vektorer i et vektorrum. Når der er valgt et retvinklet koordinatsystem, kan vektorer i rummet realiseres som taltripler \(\boldsymbol{u} = (u_1, u_2, u_3)\) af reelle tal. En sådan vektor har en længde \(\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\) , som betegnes \(|u|\) eller \(||u||\), jf. begrebet norm.

Vektorer kan adderes og ganges med et reelt tal, se vektorrum. Til to vektorer \(\boldsymbol{u}\) og \(\boldsymbol{v}\) knyttes et skalarprodukt \(\boldsymbol{u}\cdot \boldsymbol{v}\), som er et tal, og et krydsprodukt \(\boldsymbol{u}\times \boldsymbol{v}\), som er en vektor. Skalarproduktet er lig med produktet af vektorernes længder og cosinus til vinklen mellem vektorerne.

Regneregler for krydsprodukt og skalarprodukt

Hvis to vektorer \(\boldsymbol{u}\) og \(\boldsymbol{v}\) har hhv. koordinaterne \((u_1, u_2, u_3)\) og \((v_1, v_2, v_3)\) bliver deres krydsprodukt vektoren \[\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v} = (u_2v_3 – u_3v_2, u_3v_1 – u_1v_3, u_1v_2-u_2v_1),\] mens deres skalarprodukt er tallet \[\boldsymbol{u}\cdot \boldsymbol{v} = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.\]

Hvis \(\boldsymbol{u}\) og \(\boldsymbol{v}\) ikke ligger på samme linje, udspænder de en plan; \(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}\) er da forskellig fra nul og står vinkelret på denne plan hvis vinklen mellem vektorerne er \(\phi\) gælder at længden af krydsproduktet er \[|\boldsymbol{u}\times \boldsymbol{v}| = |\boldsymbol{u}||\boldsymbol{v}| \sin \phi,\] og skalarproduktet er \[\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v} = |\boldsymbol{u}||\boldsymbol{v}| \sin \phi.\] (Se figur 1).

Læs mere i Den Store Danske

Kommentarer

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

Fagansvarlig for Analyse, vektor- og matrixregning og funktionsteori

Poul G. Hjorth

lektor, cand.scient., Ph.D., Danmarks Tekniske Universitet