modellering i matematikundervisning | lex.dk

Modellering i matematikundervisningen drejer sig om, at eleverne skal forstå og udvikle matematiske modeller, det vil sige matematiske udtryk, som indfanger en del af virkeligheden.

Målet for eleverne kan være

At lære matematik — ved at se nye eller gense kendte matematiske begreber og sammenhænge, og ved selv at prøve sig frem og vurdere sine resultater

eller det kan være

At lære om selve det at modellere — ved at gennemføre større eller mindre dele af et fuldt modelleringsforløb og ved at teste, revidere og vurdere matematiske modeller

I praksis er målet med et undervisningsforløb i modellering oftest en kombination af disse to. Målet kommer til udtryk i introduktionen af modelleringen, præsentationer og diskussioner i klassen undervejs, og i opsummeringen og konklusionen til sidst i forløbet.

Forløb, som især er rettet mod at lære matematik, vil ofte, men ikke nødvendigvis, have mere styrende oplæg med en helt eller delvist færdiggennemført matematisering. Forløb, som især er rettet mod at lære om modellering, må være mere åbent lagt op.

Modelleringscirkel

Matematisk modellering i undervisningen kan beskrives på forskellige måder. En udbredt skematisk fremstilling af modelleringsprocessen er en modelleringscirkel.

I en modelleringscirkel tager man udgangspunkt i et konkret problem eller en situation, der er observeret i oplevet virkelighed. Modelleringsprocessen fører problemet/situationen over i matematikkens område, hvor det bearbejdes og løses. Løsningen føres tilbage til udgangspunktet.

Matematisering af virkeligheden

En grundlæggende ide er, at matematikken er adskilt fra virkeligheden. Matematiseringen indebærer, at problemet eller situationen formaliseres og formuleres i matematiske termer, fx ved opstilling af ligninger og funktionsudtryk. Bearbejdningen eller behandlingen kan bestå i at indsætte talværdier eller at omskrive og løse ligninger. Fortolkningen af løsningen kan bestå i at oversætte formelle udtryk, aflæse grafer, eller det kan være enkle svar i form af talværdier.

Forskellige fremstillinger af modelleringsprocessen omfatter flere eller færre trin i modelleringscirklen og fremhæver forskellige aspekter af trinnene og af helheden.

Selvom en matematisk model stemmer rigtig godt overens med et givet datasæt, anses dette ikke som bevis for, at der gælder de antagelser og sammenhænge, som modellen bygger på. Man kan altså ikke bevise, at noget må være sandt ved at opstille en matematisk model, som 'passer godt med virkeligheden'.

Eksempel: Modellering af vækst

Emnet for et modelleringsforløb kunne være populariteten af et lokalt, ugentligt udendørs musikevent. Modelleringen kunne tage udgangspunkt i publikums størrelse, i form af oplysninger om antallet af deltagere de enkelte uger.

Matematiseringen resulterer i, at ugenummer (hvor første event er nr. 1) kaldes n, og antallet af deltagere en given uge n kaldes p(n). Forhold, der undervejs i modelleringen vurderes at være relevante for populariteten, og som kan udtrykkes ved hjælp af talværdier, får efter matematiseringen betegnelserne a, b, r og lignende; disse forklares løbende.

Det matematiske indhold i forløbet omfatter to velkendte vækstmodeller, der beskriver to muligheder:

Publikums størrelse vokser med et bestemt antal deltagere for hver uge. Det kan fx ske som resultat af, at der annonceres for musikeventet. Dette er lineær vækst som i matematiseret form udtrykkes ved p(n) = a·n + b, hvor a angiver, hvor mange flere deltagere der kommer per uge, og b angiver startværdien.
Publikums størrelse vokser med en bestemt procentdel for hver uge. Det kan fx ske ved, at alle deltagere en given uge tager et bestemt antal nye deltagere med den følgende uge. Dette er eksponentiel vækst, som i matematiseret form udtrykkes ved p(n) = a · (1 + r)ⁿ, hvor a angiver startværdien, og r angiver den procentdel, deltagerantallet vokser med (skrevet som decimaltal).

Forløbet kunne være relevant for begge de to formål, der er nævnt ovenfor, altså i dette tilfælde enten at lære om lineær og eksponentiel vækst eller at lære om at opstille og forfine en model (eller en kombination af de to).

Oplægget til eleverne

Afhængigt af målet kan oplægget til eleverne fx indeholde et autentisk datasæt med deltagerantal fra et faktisk musikevent, eller et datasæt, som er konstrueret til at følge den ene af de to vækstmodeller mere eller mindre nøje.

Oplægget kan indeholde udtrykkene for lineær og eksponentiel vækst, eller det kan lægge op til at eleverne selv kommer i tanke om dem. Fokus kan være på, at eleverne skal finde frem til passende talværdier for de størrelser, som indgår (altså a, b, r og lignende), eller på sammenligning og diskussion af de to vækstmodeller. Der kan lægges op til, at eleverne skal bruge modellen til at forudsige udviklingen fremover og eventuelt diskutere konsekvenserne.

Matematisk modellering i undervisningen kædes ofte sammen med det matematikdidaktiske begreb matematikkompetencer, og specielt med modelleringskompetence, ikke mindst i kraft af de vigtige bidrag fra den danske matematikdidaktiker Mogens Niss.

Læs mere i Den Store Danske

Kommentarer

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

Fagansvarlig for Matematikdidaktik

Mette Andresen

Førsteamanuensis i matematikdidaktik, Universitetet i Bergen