Keglesnit.
De tre forskellige keglesnit.
Keglesnit.
Licens: CC BY SA 3.0
Hyperbel.
Hyperbel.
Licens: CC BY SA 3.0

En hyperbel er en af de mulige kurveformer for et plant snit gennem en ret, cirkulær kegleflade. Sammen med parablen og ellipsen udgør hyperblen de såkaldte keglesnit: ellipse, parabel og hyperbel.

Faktaboks

Etymologi
Ordet kommer af græsk hyperbole 'overdrivelse', som er afledt af hyperballein 'kaste over målet'.

En hyperbel fremkommer som skæringskurven mellem en ret, cirkulær kegleflade og en plan, der ikke går igennem keglefladens toppunkt, og som danner en vinkel med dens akse, der er mindre end aksevinklen i keglefladen. Da planen skærer begge stykker af keglefladen falder hyperblen i to åbne stykker, som kaldes hyperblens grene.

Forholdet mellem længderne af de vinkelrette projektioner af et linjestykke på keglefladens akse ind på henholdsvis skæringsplanen, der fastlægger hyperblen, og en frembringer for keglefladen kaldes excentriciteten og betegnes med \(e\). For hyperblen er excentriciteten \(e>1\).

Som plane kurver kan de tre typer af keglesnit karakteriseres ved hjælp af en ledelinje, et brændpunkt samt excentriciteten. Hyperblen med excentricitet \( e > 1 \), ledelinje \(l\) og brændpunkt \(F\) udgøres netop af de punkter \(P\) i planen, for hvilke afstanden til punktet \(F\) er \(e\) gange afstanden til linjen \(l\), altså hvor \( \vert PF\vert = e\vert Pl\vert \).

Hyperblen har som ellipsen to symmetriakser og to brændpunkter \(E\) og \(F\), hver med en tilhørende ledelinje \(l\). Hyperblen har desuden to asymptoter. Linjestykket mellem de to grene af hyperblen på den symmetriakse, der skærer hyperblen, kaldes førsteaksen. Længden af det linjestykke, som hyperblens asymptoter afskærer på normalen til førsteaksen i et af dens endepunkter, kaldes andenaksen.

Hvis den halve førsteakse har længden \(a\), består hyperblen af de punkter \(P\) i planen, for hvilke den numeriske differens mellem punktets afstande til brændpunkterne tilfredsstiller \[\big\vert\hspace{1pt} \vert PE\vert – \vert PF\vert\hspace{1pt}\big\vert =2a .\]

Hvis den halve storakse og den halve lilleakse henholdsvis har størrelsen a og b, er excentriciteten for hyperblen givet ved formlen \[e=\sqrt{1+\tfrac{b^2}{a^2}}.\] I et sædvanligt retvinklet koordinatsystem er hyperblen fastlagt ved ligningen \[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ,\] og de to asymptoter har ligningerne \[y=\pm\frac{b}{a} x .\]

Læs mere i Den Store Danske

Kommentarer

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig