variationsregning

Artikelstart

Variationsregning, gren af matematikken, der omhandler metoder til bestemmelse af minima eller maksima for funktioner, som er defineret på givne klasser af kurver, flader eller andre geometriske objekter.

Et typisk eksempel er det brachistochrone problem, der blev formuleret og løst i slutningen af 1600-t.: At finde den kurve, ad hvilken en partikel under indvirkning af tyngdekraften hurtigst glider fra et givet punkt A til et givet punkt B. Problemet kan formuleres som at skulle minimere en funktion, der er givet ved et integral langs en kurve med endepunkter A og B. Sådanne problemer blev studeret generelt af L. Euler, der i 1744 fandt en differentialligning, Eulers ligning, som kurven skal tilfredsstille, hvis den skal give et maksimum eller et minimum. I fysikken spiller sådanne variationsprincipper en stor rolle, fx i mindste virknings princip og i W.R. Hamiltons påvisning af, at den klassiske mekaniks ligninger kan formuleres som variationsproblemer vha. passende energi-integraler. Einsteins almene relativitetsteori kan formuleres og studeres effektivt med variationsregningens begreber og metoder.

Variationsregning behandler også problemer, som involverer kurverne eller fladerne selv, fx Plateaus problem, dvs. at finde en minimalflade med en given randkurve. Relateret hertil er de isoperimetriske problemer, hvor man fx skal finde den kurve med en given længde, som i planen omslutter det største areal.

En vigtig generalisering af variationsregningen i 1900-t. er den såkaldte Morse-teori, der blev grundlagt af H.M. Morse i 1920'erne og videreudviklet af bl.a. S. Smale. Teorien omhandler især globale aspekter af variationsregningen og har ført til nye resultater i global analyse og topologi.

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig