Sfærisk Trekant
De tre sider i en sfærisk trekant er storcirkelbuer. Summen af vinklerne i en sfærisk trekant er større end 180 grader.
Sfærisk Trekant
Licens: CC BY SA 3.0

Sfærisk trigonometri er studiet af den indbyrdes afhængighed mellem vinkler og sidelængder i sfæriske trekanter på en kugleflade med radius 1. Sfærisk trigonometri blev oprindelig udviklet som et hjælpemiddel i astronomi og til navigation.

Beregning af størrelser i en sfærisk trekant

En sfærisk trekant har tre vinkler A, B, C og tre sidelængder a, b, c. Får man oplyst tre af de seks værdier A, B, C, a, b, c for en sfærisk trekant, kan de andre tre entydigt bestemmes ved hjælp af de fundamentale formler:

  1. Sinusrelationerne: \[\frac{\sin a}{\sin A} =\frac{\sin b}{\sin B} =\frac{\sin c}{\sin C} .\]
  2. Cosinusrelationerne for sidelængderne: \[\cos a=\cos b \cos c +\sin b \sin c \cos A \] og tilsvarende formler for cos b og cos c.
  3. Cosinusrelationerne for vinklerne: \[\cos A=-\cos B \cos C + \sin B \sin C \cos a\] og tilsvarende formler for \(\cos B\) og \(\cos C\).

Det ses af 3., at de tre vinkler \(A\), \(B\) og \(C\) fastlægger længderne \(a\), \(b\) og \(c\); dette gælder ikke for plane trekanter.

En dualitet i sfærisk trigonometri

Om polartrekanten hørende til en given sfærisk trekant gælder, at en vinkel (henholdsvis side) i polartrekanten er lig med supplementet til den tilsvarende side (henholdsvis vinkel) i trekanten. En trigonometrisk formel for polartrekanten giver derfor en "dual" formel for trekanten. Ud fra denne betragtning følger formlerne i 3. direkte fra formlerne i 2. og omvendt.

Læs mere i Den Store Danske

Kommentarer

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig