En kvadratisk rest er et vigtigt begreb i talteori. Et helt tal \(a\), der ikke er deleligt med det ulige primtal \(p\), kaldes kvadratisk rest modulo \(p\), hvis kongruensen \(a\equiv x^2 (\text{mod}\ p)\) har en løsning i \(x\). Det vil sige hvis der findes et helt tal \(x\), så \(a-x^2\) er deleligt med \(p\).
kvadratisk rest
Legendres symbol
Legendres symbol \(\left( \frac{a}{p}\right)\) defineres til at være \(1\), hvis \(a\) er kvadratisk rest, og \(-1\) ellers. Et berømt kriterium opdaget af den schweiziske matematiker Leonhard Euler i 1748 giver en formel til at udregne Legendres symbol, nemlig \[\left( \frac{a}{p}\right) \equiv a^{(p-1)/2}\ (\text{mod}\ p) .\] Specielt vil \(-1\) være kvadratisk rest modulo \(p\), netop når \(p \equiv 1\ (\text{mod}\ 4)\).
Den kvadratiske reciprocitetssætning
Den kvadratiske reciprocitetssætning siger, at der for to forskellige ulige primtal \(p\) og \(q\) gælder, at\[\left(\frac{p}{q} \right)\left(\frac{q}{p} \right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}} .\]
Såfremt enten \(p\) eller \(q\) er \(\equiv 1\ (\text{mod}\ 4)\), vil \(p\) således være kvadratisk rest modulo \(q\), netop når \(q\) er kvadratisk rest modulo \(p\).
Både Euler og franskmanden Adrien Marie Legendre havde formodet, at det forholdt sig således. I hovedværket Disquisitiones Arithmeticae (1801) gav Carl Friedrich Gauss det første fuldstændige bevis for sætningen.
Kommentarer
Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.
Du skal være logget ind for at kommentere.