gruppeteori

Gruppeteori er i matematikken læren om grupper. Historisk set opstod gruppebegrebet på uafhængig måde i flere matematiske discipliner. Dets betydning blev klart fremhævet i teorien for algebraiske ligninger. Der findes eksplicitte metoder til at beregne rødderne i ligninger af lav grad, fx andengradspolynomier. Der kan knyttes en gruppe til ethvert polynomium, og der er direkte sammenhænge mellem gruppens struktur og polynomiets egenskaber. Fx er der en simpel gruppeteoretisk begrundelse for, at det ikke er muligt generelt at angive udtryk for rødderne i et polynomium af grad mindst fem, se også Galoisteori.

Gruppen, der knyttes til et polynomium, er en gruppe af permutationer på polynomiets rødder, og gruppeteoriens begyndelse i slutningen af 1700-tallet var netop studiet af permutationsgrupper. I denne forbindelse nævnes J.L. Lagrange og A.L. Cauchy. Den første formulering af de abstrakte aksiomer tilskrives L. Kronecker (1870). Den ældste gren af gruppeteorien er teorien for endelige grupper, dvs. grupper med et endeligt antal elementer. Et vigtigt problem vedrørende endelige grupper, bestemmelsen af alle endelige simple grupper, afsluttedes omkring 1980. De simple grupper kan ses som byggestenene for alle grupper, men mulighederne for deres sammensætning er talrige.

Gruppeteorien har stor betydning i geometrien som hjælpemiddel til beskrivelsen af symmetrier. Vigtige klasser af grupper opnås ved indføring af yderligere strukturer, der er kompatible med gruppestrukturen, fx Lie-grupper, algebraiske grupper og topologiske grupper.