Galoisteori

Galoisteori, (efter É. Galois), gren af matematikken, der bl.a. studerer strukturen af rødderne til algebraiske ligninger. De n rødder til en ligning af formen xⁿ+a₁x^n-1+∙∙∙+a_n-1x +a_n = 0 kan for n ≤ 4 angives ved rodudtryk i koefficienterne a₁,...,a_n (se algebraisk ligning).

For n ≥ 5 gælder dette i almindelighed ikke. Galoisteori giver en systematisk behandling af sådanne spørgsmål. Til ovenstående ligning, hvori koefficienterne fx er rationale tal, kan knyttes en endelig gruppe, den såkaldte Galoisgruppe. Denne gruppe giver vigtig information om, hvorledes rødderne til ligningen kan udtrykkes. Det kan fx vises, at rødderne til xⁿ-x-1 = 0 for n ≥ 5 ikke kan fås ud fra de rationale tal ved successiv anvendelse af roduddragning og de fire klassiske regningsarter.

Galoisteorien blev først gjort mere alment tilgængelig ved arbejder af bl.a. Camille Jordan, Richard Dedekind og Leopold Kronecker i slutningen af 1800-t. Det er et berømt og stadig uløst problem, hvorvidt enhver endelig gruppe kan optræde som Galoisgruppe for en algebraisk ligning med rationale koefficienter.