Lie-gruppe

Lie-gruppe er en matematisk gruppe, hvor regneoperationen og dannelse af inverst element er differentiable afbildninger. For at dette har mening, må man forlange, at gruppen som mængde betragtet er en glat kurve eller flade eller mere generelt en differentiabel mangfoldighed. Dermed har gruppen en dimension. De reelle tal med addition, \(\left(\mathbb{R}, + \right)\), er en kommutativ, endimensional Lie-gruppe. Ikke-kommutative Lie-grupper er fx Heisenberg-gruppen, der optræder i kvantemekanik, den ortogonale gruppe i rummet, \(O(3)\), bestående af spejlinger og rotationer, samt gruppen \(SL(2, \mathbb{R})\) bestående af \(2\times 2\) matricer med determinant \(1\); alle med dimension \(3\). Lorentz-gruppen bestående af rum-tids-transformationer i henhold til den specielle relativitetsteori er ikke-kommutativ med dimension \(6\). Andre eksempler på Lie-grupper er symmetrigrupperne for visse fysiske eller kemiske systemer og transformationsgrupper for visse plane eller rumlige figurer.

Oprindelig optrådte hos Lie kun en "lokal Lie-gruppe" som en familie af lokale transformationer. Senere kom med E. Cartan, H. Weyl og C. Chevalley forståelsen af den globale struktur. Til en Lie-gruppe er knyttet en Lie-algebra, som bestemmer Lie-gruppen i nærheden af det neutrale element. Forskellige Lie-grupper kan dog have samme Lie-algebra. For en todimensional Lie-gruppe er Lie-algebraen tangentplanen i det neutrale element, og generelt er Lie-algebraen for en n-dimensional Lie-gruppe et \(n\)-dimensionalt vektorrum. Samspillet mellem den analytiske teori for Lie-grupper og den rent algebraiske teori for Lie-algebraer er grundlaget for en meget omfattende strukturteori for Lie-grupper.

Studier relateret til Lie-grupper vedrører bl.a. analyse på gruppen og på tilhørende symmetriske rum, generaliseret Fourieranalyse, differentialligninger, repræsentationsteori og talteori. Mange matematikere har i 1950'erne-1970'erne ydet banebrydende arbejder inden for disse emner, der stadig spiller en væsentlig rolle i den matematiske forskning.

Betegnelsen Lie-gruppe anvendes også mere generelt om grupper over de komplekse eller de \(p\)-adiske tal og om visse uendelig-dimensionale grupper.