Andengradsflader (Scan fra DSD, Bind 1, Page 386)
Andengradsflade
Ikke-udartede flader
Andengradsflader (Scan fra DSD, Bind 1, Page 386)

En andengradsflade er i analytisk geometri en flade, der beskrives ved en ligning af anden grad i tre variable \(x\), \(y\) og \(z\). Eksempelvis fremstiller \[ x^2+y^2+z^2 = 9 \] en kugleflade med centrum i \( (0,0,0) \) og radius \(3\), og \[z = xy \] fremstiller en hyperbolsk paraboloide.

En andengradsflade kaldes også en keglesnitsflade, fordi ethvert plant snit i fladen er et keglesnit, dvs. ellipse (specielt cirkel), hyperbel eller parabel.

Typer af andengradsflader

Ved passende valg af koordinatsystem kan man opnå en udtømmende beskrivelse af klassen af andengradsflader ud fra en gennemgang af kun to ligninger:

  1. \( ax^2+by^2+cz^2=k \)
  2. \( ax^2+by^2=2cz\hspace{2pt} . \)

Type 1 fremstiller en ellipsoide eller hyperboloide med ét net eller med to net og følgende særtilfælde: kegleflade, elliptisk eller hyperbolsk cylinderflade, to planer, skærende eller parallelle, en plan, en ret linje, et punkt eller intet.

Type 2 fremstiller elliptisk eller hyperbolsk paraboloide eller parabolsk cylinderflade.

Omdrejningsflader og andengradsflader

Omdrejningsflader blandt andengradsflader fremkommer ved drejning af keglesnit om en akse:

  • Ellipse giver omdrejningsellipsoide, specielt kugleflade.
  • En hyperbel drejet om andenaksen giver en omdrejningshyperboloide med ét net, mens den drejet om førsteaksen giver en omdrejningshyperboloide med to net.
  • En parabel giver en omdrejningsparaboloide.

Omdrejningsparaboloider anvendes i paraboler (antenner, reflektorer) på grund af parablens egenskaber i geometrisk optik.

Andre specielle andengradsflader

Hyperbolsk paraboloide og hyperboloide med ét net er eksempler på retlinede, krumme flader; de består af to systemer af rette linjer (frembringere); hver linje i det ene system skærer hver linje i det andet, og hver linje i et system er vindskæv med hensyn til enhver anden i samme system. Formen af omdrejningshyperboloiden kendes fra køletårne på visse (kerne-)kraftværker.

Læs mere i Den Store Danske

Kommentarer

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig