Rows of stacked cannon balls.
Rækker af kanonkugler stablet i fladecentrerede kubiske gitre.
Af /National Archives at College Park Edit this at Wikidata.
Fruit Stand, Tompkins Square
Frugtbod med frugter stablet i fladecentrerede kubiske gitre på Sheen Brothers Market i East Village, New York City, 2014.
Af .
Licens: CC BY 2.0

Keplers formodning er den matematiske hypotese, at den tættest mulige pakning af (uendelig mange) helt ens, massive kugler i et givet rumligt volumen opnås ved at arrangere dem i et såkaldt fladecentreret kubisk gitter. I en pakning efter et fladecentreret kubisk gitter fylder kuglerne ca. 74% af rummet; forholdstallet er helt præcist \({\pi}/{\sqrt{18}}\).

Formodningen blev fremsat af Johannes Kepler i værket Strena seu de nive sexangula (1611, 'Nytårsgave eller om sekskantede snefnug'), formentlig inspireret af en korrespondance om blandt andet stabling af kanonkugler med den engelske matematiker og astronom Thomas Harriot (1560-1621).

Fladecentreret kubisk gitter

  • Som første lag i en pakning efter et sådant gitter lægger man et plant lag af kugler tættest muligt så hver kugle grænser op til seks nabokugler, i analogi med cellerne i en bitavle.
  • Andet lag af kugler anbringes med centrene over mellemrummene i første lag.
  • I tredje lag lægges kuglerne, så de alle ligger lige over en kugle i første lag.

Pakningen fortsætter derefter med, at alle kuglerne i lag nummer \(n\ge 3\) lægges lige over en kugle i lag nummer \(n-2\). Der fortsættes efter dette mønster til pakningen er fuldendt.

Bevis

Kepler gav ikke selv et bevis for formodningen. C.F. Gauss viste i 1800-tallet, at blandt alle gitterpakninger giver det fladecentrerede kubiske gitter den største tæthed, men en ikke-periodisk pakning kunne stadig tænkes at give en tættere stabling.

Først i 1998 beviste den amerikanske matematiker Thomas Hales (f. 1958) Keplers formodning ved benyttelse af computere. Beviset bygger på intervalaritmetik, ved hjælp af hvilken man effektivt og eksakt kan bevise uligheder på en computer. De uligheder, som Hales beviser, fremkommer ved systematisk at tildele geometrisk veldefinerede dele af det tomme naborum til hver massiv kugle i en given pakning og dernæst udtrykke, at hver enkelt celle (bestående af kugle plus det tildelte tomme rum) i gennemsnit aldrig har større forholdstal end \({\pi}/{\sqrt{18}}\).

Pakning i højere dimensioner

I højere rumlige dimensioner end tre har tilsvarende pakningsproblemer betydning for bl.a. kodningsteori. Der findes dog endnu ikke beviser for eksistensen af en optimal pakning i højere dimensioner.

Kommentarer

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig