Keplers formodning

Keplers formodning. Den tætteste pakning af ens kugler (atomer) fremkommer ved først at anbringe et lag kugler tættest muligt i et plan (A). Næste lag anbringes med centrene over mellemrummene i første lag (fx punkterne B mærket med et plustegn). Tredje lag kan nu anbringes på to måder: enten med centrene over de mellemrum i første lag, som ikke blev anvendt i andet lag (punkterne C mærket med en prik), eller med samme placering som i første lag. Hvis pakningen fortsætter med samme systematik, fås i førstnævnte tilfælde et fladecentreret kubisk gitter og i andet tilfælde et heksagonalt gitter. I begge tilfælde har en kugle 12 nærmeste naboer, og ca. 74% af rummet er fyldt med kugler; forholdstallet er helt præcist \(\pi/\sqrt{18}\).

Det heksagonale gitter er det oftest anvendte gitter til stabling i en pyramide af 'kugleformede' frugter, da det fx for en trekantet grundplan giver plads til flere frugter i det tredje og følgende lag.

.

Artikelstart

Keplers formodning er den matematiske hypotese, at den tættest mulige pakning af (uendelig mange) helt ens, massive kugler i et givet rumligt volumen opnås ved at arrangere dem i et såkaldt fladecentreret kubisk gitter. Som første lag i en pakning efter et sådant gitter lægger man et plant lag af kugler tættest muligt så hver kugle grænser op til seks nabo kugler. Andet lag af kugler anbringes med centrene over mellemrummene i første lag. I tredje lag lægges kuglerne, så de alle ligger lige over en kugle i første lag. Pakningen fortsætter derefter med, at i lag \(n\ge 3\) lægges kuglerne lige over en kugle i lag \(n-2\). Efter dette mønster fortsættes til pakningen er fuldendt. I en pakning efter et fladecentreret kubisk gitter fylder kuglerne ca. 74% af rummet; forholdstallet er helt præcist \({\pi}/{\sqrt{18}}\). Formodningen blev fremsat af Johannes Kepler i værket Strena seu de nive sexangula (1611, Nytårsgave eller om sekskantede snefnug), formentlig inspireret af en korrespondance vedrørende blandt andet stabling af kanonkugler med den engelske matematiker og astronom Thomas Harriot (1560-1621).

Kepler gav ikke selv et bevis for formodningen. C.F. Gauss viste i 1800-tallet, at blandt alle gitterpakninger giver det fladecentrerede kubiske gitter den største tæthed, men en ikke-periodisk pakning kunne stadig tænkes at give en tættere stabling. Først i 1998 beviste den amerikanske matematiker Thomas Hales (f. 1958) Keplers formodning ved benyttelse af computere. Beviset bygger på intervalaritmetik, ved hjælp af hvilken man effektivt og eksakt kan bevise uligheder på en computer. De uligheder, som Hales beviser, fremkommer ved systematisk at tildele geometrisk veldefinerede dele af det tomme naborum til hver massiv kugle i en given pakning og dernæst udtrykke, at hver enkelt celle (bestående af kugle plus det dertil hørende tomme rum) i gennemsnit aldrig har større forholdstal end \({\pi}/{\sqrt{18}}\).

I højere rumlige dimensioner end tre har tilsvarende pakningsproblemer betydning for bl.a. kodningsteori. Der findes dog endnu ikke beviser for eksistensen af en optimal pakning i højere dimensioner.

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig