Kuglefunktioner er i matematik en klasse af funktioner defineret på overfladen af en kugle i rummet. Præcist udtrykt er en kuglefunktion af grad \(k\) et homogent, harmonisk polynomium \(H_k(x)\) af grad \(k\) i de 3 variable \(x=(x_1,x_2,x_3)\). På grund af homogeniteten kan man indskrænke sig til at betragte \(H_k\) på enhedssfæren \(S^2\) (kuglefladen med centrum i \((0,0,0)\) og radius \(1\)). Fx er \(x_1\) og \(x_1^2 – x_3^2\) kuglefunktioner af grad \(1\) hhv. \(2\). Teorien for kuglefunktioner, der spiller en vigtig rolle i geodæsi og fysik, kan bl.a. anvendes til at fremstille en funktion \(f\) på \(S^2\) ved en uendelig række \[f(x)=\sum^\infty_{k=0} H_k(x), \ x \in S^2,\] hvor \(H_k\) er en kuglefunktion af grad \(k\). Her er det afgørende, at kuglefunktioner af forskellig grad er ortogonale.

Hvis \(P_k\) betegner det \(k\)'te Legendre-polynomium, er \[\cos(m\phi) \sin^m(\theta) P_k^{(m)}(\cos \theta),\]\[\sin(m\phi) \sin^m(\theta) P_k^{(m)}(\cos \theta),\] (\(m=0,1,...,k; \ (m)\) betyder \(m\) gange differentieret) kuglefunktioner af grad \(k\) udtrykt i sfæreiske koordinater. Funktionen \(H_k\) kan altid skrives som en linearkombination af disse funktioner.

Den uendelige række ovenfor generaliserer Fourierrækken for en funktion på enhedscirklen \(S^1\) til en funktion på enhedssfæren. Teorien kan udvides til funktioner på en kugleflade i et \(n\)-dimensionalt rum, og den er nært forbundet med repræsentationsteori for grupper af drejninger i rummet (se ikke-kommutativ harmonisk analyse).

Kommentarer

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig