ekstremum

Ekstremum er en fællesbetegnelse for maksimum og minimum. En reel funktion \(f\) defineret på en delmængde \(A\) af \(\mathbb{R}^n\) har maksimum i punktet \(a\), hvis \(f(a) \geq f(x)\) for alle \(x \in A\). På tilsvarende måde defineres minimum. Hvis maksimumsbetingelsen \(f(a) \geq f(x)\) kun gælder for \(x\) i en omegn af \(a\), taler man om et lokalt maksimum, mens førstnævnte kaldes globalt maksimum på \(A\). En hovedsætning i topologien siger, at globalt maksimum og -minimum eksisterer, hvis \(A\) er afsluttet og begrænset, og \(f\) er kontinuert.

Differentialregningen giver mulighed for bestemmelse af ekstremum for en differentiabel funktion \(f\), idet et indre punkt \(x\) i \(A\), hvori der er lokalt ekstremum, skal søges blandt løsningerne til ligningerne \[\frac{\partial f}{\partial x_i} (x) = 0, \ i = 1,...,n,\] de såkaldte stationære eller kritiske punkter for \(f\). For at afgøre, om et sådant punkt er lokalt maksimum, minimum eller saddelpunkt, undersøges fortegnet for den kvadratiske form hørende til Hessematricen for \(f\) i \(x\). I det simpleste tilfælde \(n=1\) er der lokalt maksimum hhv. minimum, hvis \(f''(x) < 0\) hhv. \(f''(x) > 0\). Hvis derimod \(f''(x) = 0\), må afledede af højere orden inddrages i undersøgelsen.

En fuldstændig ekstremumsbestemmelse kræver også en undersøgelse af funktionens opførsel på randen af \(A\).

Hvis \(f\) repræsenterer højden i et landskab, er bjergtoppe og dale lokale maksima og minima, mens bjergpas er saddelpunkter.