Lineær ligning betegner en ligning af formen \(a_1x_1+ a_2x_2+\dots +a_nx_n = b_1\), hvor \(a_1,a_2,...,a_n,b_1\) er kendte (reelle) tal, og \(x_1,x_2,...,x_n\) er de ubekendte størrelser, som kan sammenfattes i et \(n\)-tupel \(x=(x_1,...,x_n)\in \mathbb{R}^n\). Løsningsmængden til en lineær ligning fremstiller i almindelighed en hyperplan i talrummet \(\mathbb{R}^n\) (dvs. en linje, når \(n=2\), en plan, når \(n=3\),...). Er der givet \(m\) lineære ligninger, kan ligningssystemet sammenfattes i en matrixligning \(Ax=b\), hvor \(A\) er en \(m\times n\)-matrix, og \(x \in \mathbb{R}^n\) og \(b \in \mathbb{R}^m\) skal opfattes som søjlevektorer. Når antallet af ligninger og ubekendte er ens (\(m=n\)), har ligningssystemet en entydig løsning givet ved Cramers regel, såfremt determinanten for \(A\) er forskellig fra nul. Hvis derimod determinanten er nul, vil der være ingen eller uendelig mange løsninger.

Der er en nær sammenhæng mellem lineære ligninger og lineære afbildninger. Således bestemmer matricen \(A\) en lineær afbildning \(x \rightarrow Ax\) af \(\mathbb{R}^n\) ind i \(\mathbb{R}^m\). Lineære ligninger med uendelig mange ubekendte studeres i operatorteori.

Læs mere i Den Store Danske

Kommentarer

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig