differensligning

Artikelstart

Differensligning, matematisk ligning, som bestemmer funktionsværdierne for en funktion, som er defineret for en række talværdier, der afviger med en konstant — ofte 1. Funktionens værdier angives ved den eller de foregående værdier. Differensligninger anvendes fx i matematiske modeller for økonomiske systemer.

Et simpelt eksempel er formlen for rentetilskrivning af en kapital. Har kapitalen K0 henstået n terminer til rentefod r, har den opnået værdien K(n). Efter første termin er kapitalen vokset til K(1) = K0(1+r). Efter endnu en termin er kapitalens værdi K(2) = K(1)(1+r) = K0(1+r)2. Ved hvert skridt — hver termin — vokser kapitalen med en rentefod r og bliver i løbet af n terminer til K(n) = K0(1+r)n. Kapitalens værdi før den første rentetilskrivning K0 kan derfor successivt bestemme værdien termin for termin.

I almindelighed er en første ordens differensligning en ligning af formenf (n) = a(n) f (n−1)+g(n),hvor a(n) og g(n) er kendte funktioner. Desuden må begyndelsesværdien f (0) være kendt. Dernæst kan funktionens værdier bestemmes successivt.

På samme måde er en lineær anden ordens differensligning af formenf (n) = a1(n)f (n−1)+a2(n)f (n−2)+g(n),hvor a1(n), a2(n) og g(n) er kendte funktioner; her må man kende begyndelsesværdierne f (0) og f (1). Et simpelt eksempel er f (n)=f (n−1)+f (n−2), hvor funktionsværdien er summen af de to foregående. Med begyndelsesværdierne f (0)=f (1)=1 fås successivt: f (2)=1+1=2, f (3)=2+1=3, f (4)=3+2=5, f (5)=5+3=8 osv. Herved fremkommer Fibonaccitallene, som optræder i overraskende mange sammenhænge i matematikken.

En lineær m'te ordens differensligning har formenf (n) = a1(n)f (n−1)+a2(n)f (n−2)+∙∙∙ +am(n)f (nm)+g(n),hvor man tillige kender m begyndelsesværdier f (0), f (1), ..., f (m−1).

En differensligning tillader umiddelbart kun, at funktionsværdierne bestemmes successivt. Det bliver derfor et af hovedproblemerne at finde et eksplicit udtryk for f (n), så funktionsværdien kan bestemmes direkte for ethvert n. For rentetilskrivningsligningen er løsningen K(n) = K0(1+r)n. For vilkårlige lineære differensligninger er problemet imidlertid ingenlunde simpelt og i mange tilfælde uløseligt.

Den generelle ligning med konstante koefficienterf (n) = a1f (n−1)+a2f (n−2)+∙∙∙ +amf (nm)+g(n)findes der imidlertid løsningsmetoder til.

Lineære højere ordens ligninger med ikke-konstante koefficienter kan ikke altid løses. Hvis koefficienterne er polynomier, kan man transformere problemet til en differentialligning, fx ved en Laplace-transformation.

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig