Logaritmisk spiral
Punktet \(P\) er fastlagt ved afstanden \(r\) til \(O\) og vinklen \(\theta\). Den logaritmiske spiral består af de punkter, der opfylder ligningen \(b\cdot\theta=\ln(r/a)\), hvor \(\ln\) betegner den naturlige logaritmefunktion, og \(a>0\) og \(b\) er konstante tal.
Logaritmisk spiral
Licens: CC BY SA 3.0

En spiral er i matematikken en plan kurve, der vinder sig om et fast punkt \(O\) i planen, samtidig med at den fjerner sig fra (eller nærmer sig til) \(O\). En spiral kan tænkes fremkommet som banekurven for et punkt \(P\), der bevæger sig langs en halvlinje med begyndelsespunkt i \(O\), samtidig med at halvlinjen med jævn hastighed roterer i planen omkring \(O\). I et polært koordinatsystem bestående af en fast halvlinje i planen med begyndelsespunkt i \(O\) beskrives en spiral i polære koordinater ved en ligning \(r=f(\theta)\), hvor \(r\) betegner afstanden i planen fra det faste punkt \(O\) til det bevægelige punkt \(P\), \(\theta\) er vinklen, som den bevægelige halvlinje har drejet sig imod uret målt ud fra den faste halvlinje, og \(f(\theta)\) er en voksende eller en aftagende funktion.

Faktaboks

Etymologi
Ordet spiral kommer af middellatin spiralis, der er en afledning af spira 'ring, rulle, snoning'.

Nogle vigtige spiraler

Flere Spiraler
  • Den hyperbolske spiral vinder sig ind mod begyndelsespunktet. Navnet skyldes, at sammenhængen mellem \(r\) og \(\theta\) er den samme som mellem \(x\) og \(y\) i ligningen for en hyperbel.
  • Den parabolske spiral vinder sig væk fra begyndelsespunktet, mens afstanden mellem to på hinanden følgende vindinger bliver mindre og mindre. Fermat studerede spiralen, hvorfor den også kaldes Fermats spiral.
  • Klotoiden eller Cornu-spiralen har to punkter, hvorom den vinder sig. Kurvens krumning i et punkt er proportional med længden af kurven målt fra vendepunktet (midterpunktet) til punktet.
Flere Spiraler
Licens: CC BY SA 3.0

Archimedes' spiral beskrives ved ligningen \(r= a\cdot\theta\), og en logaritmisk spiral ved ligningen \(r=a\cdot\exp(b\cdot\theta)\), hvor \(a\) a er en positiv konstant, \(\exp\) betegner eksponentialfunktionen, og \(b\) er en konstant, som kan være positiv eller negativ. Blandt mange andre spiralformer kan nævnes den hyperbolske spiral med ligningen \(r\cdot\theta=a\) og den parabolske (eller Fermats) spiral med ligningen \(r^2=a^2\theta\).

Spiraler i naturen

Spiraler er vigtige geometriske former, som ofte optræder i beskrivelsen af naturfænomener; ved konstruktionen af sit spind benytter edderkoppen fx både Archimedes' spiral og den logaritmiske spiral. Den logaritmiske spiral optræder desuden hyppigt i forbindelse med eksponentiel vækst.

Læs mere i Den Store Danske

Kommentarer

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig